(6)lim_(xto0)(sqrt(1+tan x)-sqrt(1+sin x))/(xsqrt(1+sin^2)x-x);
题目解答
答案
将分子有理化得：
$\frac{\tan x - \sin x}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}}.$
分母提取 $x$：
$x(\sqrt{1+\sin^2 x} - 1).$
利用等价无穷小：
- $\tan x - \sin x \sim \frac{x^3}{2}$,
- $\sqrt{1+\sin^2 x} - 1 \sim \frac{x^2}{2}$,
- $\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x} \sim 2$.
代入得：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x \cdot \frac{x^2}{2} \cdot 2} = \frac{1}{2}.$
答案： $\boxed{\frac{1}{2}}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及有理化处理、等价无穷小替换以及泰勒展开的应用。
解题核心思路：
- 分子有理化：通过乘以共轭表达式消去根号，简化分子结构。
- 分母变形：提取公因子$x$，将分母转化为可应用等价无穷小的形式。
- 等价无穷小替换：利用$\tan x - \sin x \sim \frac{x^3}{2}$和$\sqrt{1+t} -1 \sim \frac{t}{2}$等近似，将复杂表达式简化为多项式形式。
- 极限化简：代入等价无穷小后，约分求得最终结果。
破题关键点：
- 分子有理化是消除根号差的关键步骤。
- 分母提取$x$后，剩余部分需用等价无穷小替换。
- 正确选择等价无穷小，尤其是$\sqrt{1+\sin^2 x} -1$的近似。
步骤1：分子有理化
原式分子为$\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}$，乘以共轭表达式$\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}$，得：
$\frac{\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}}{x\sqrt{1+\sin^2 x} - x} \cdot \frac{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}} = \frac{\tan x - \sin x}{(\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x})(x\sqrt{1+\sin^2 x} - x)}.$
步骤2：分母变形
分母提取公因子$x$：
$x\sqrt{1+\sin^2 x} - x = x\left(\sqrt{1+\sin^2 x} - 1\right).$
步骤3：等价无穷小替换
- 分子部分：$\tan x - \sin x \sim \frac{x^3}{2}$（泰勒展开后相减）。
- 分母部分：
- $\sqrt{1+\sin^2 x} - 1 \sim \frac{\sin^2 x}{2} \sim \frac{x^2}{2}$（利用$\sqrt{1+t} -1 \sim \frac{t}{2}$）。
- $\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x} \sim 1 + 1 = 2$（当$x \to 0$时，$\tan x$和$\sin x$均趋近于$0$）。
步骤4：代入化简
将等价无穷小代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{2 \cdot x \cdot \frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}.$