题目
某车间生产的螺钉，其直径X sim N(mu, sigma^2)，由过去的经验知道sigma^2 = 0.06，今随机抽取6枚，测得其长度（单位:mm）如下:14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求mu的置信概率为0.95的置信区间。A. (12.12, 15.23)B. (11.353, 13.123)C. (14.754, 15.146)D. (13.754, 17.146)
某车间生产的螺钉，其直径$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，由过去的经验知道$\sigma^2 = 0.06$，今随机抽取6枚，测得其长度（单位:mm）如下:14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求$\mu$的置信概率为0.95的置信区间。
A. (12.12, 15.23)
B. (11.353, 13.123)
C. (14.754, 15.146)
D. (13.754, 17.146)
题目解答
答案
C. (14.754, 15.146)
解析
步骤 1：计算样本均值
根据题目给出的数据，计算样本均值 $\bar{X}$。
\[ \bar{X} = \frac{1}{6} \sum X_i = \frac{1}{6} (14.7 + 15.0 + 14.8 + 14.9 + 15.1 + 15.2) = 14.95 \]
步骤 2：确定临界值
由于置信水平为0.95，对应于标准正态分布的临界值 $z_{0.025} = 1.96$。
步骤 3：计算标准误
根据题目给出的总体方差 $\sigma^2 = 0.06$ 和样本大小 $n = 6$，计算标准误。
\[ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{0.06}}{\sqrt{6}} \approx 0.1 \]
步骤 4：计算置信区间
根据样本均值、临界值和标准误，计算置信区间。
\[ \bar{X} \pm z_{0.025} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 14.95 \pm 1.96 \times 0.1 \approx (14.754, 15.146) \]
根据题目给出的数据，计算样本均值 $\bar{X}$。
\[ \bar{X} = \frac{1}{6} \sum X_i = \frac{1}{6} (14.7 + 15.0 + 14.8 + 14.9 + 15.1 + 15.2) = 14.95 \]
步骤 2：确定临界值
由于置信水平为0.95，对应于标准正态分布的临界值 $z_{0.025} = 1.96$。
步骤 3：计算标准误
根据题目给出的总体方差 $\sigma^2 = 0.06$ 和样本大小 $n = 6$，计算标准误。
\[ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{0.06}}{\sqrt{6}} \approx 0.1 \]
步骤 4：计算置信区间
根据样本均值、临界值和标准误，计算置信区间。
\[ \bar{X} \pm z_{0.025} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 14.95 \pm 1.96 \times 0.1 \approx (14.754, 15.146) \]