题目
填空题lim_(x to infty) (arctan x)/(x) =
填空题 $\lim_{x \to \infty} \frac{\arctan x}{x} =$
题目解答
答案
当 $x \to \infty$ 时，$\arctan x$ 的取值范围为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，即 $\arctan x$ 被限制在有限区间内。而分母 $x$ 趋于无穷大，因此分子有界而分母无界，导致整个分数趋于零。
具体分析如下：
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\text{有界量}}{\text{无穷大量}} = 0
\]
或者，可以使用夹逼定理：
\[
-\frac{\pi}{2x} \leq \frac{\arctan x}{x} \leq \frac{\pi}{2x}
\]
当 $x \to \infty$ 时，$-\frac{\pi}{2x} \to 0$ 且 $\frac{\pi}{2x} \to 0$，由夹逼定理得：
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{\arctan x}{x} = 0
\]
答案：0
解析
本题考查函数极限的计算，解题思路是利用函数的有界性和无穷大量的性质，或者使用夹逼定理来求解极限。
- 方法一：利用有界量与无穷大量的性质
- 首先明确反正切函数$y = \arctan x$的性质，对于反正切函数$y=\arctan x$，其定义域为$(-\infty,+\infty)$，值域为$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$。这意味着当$x\to\infty$时，$\arctan x$始终被限制在$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$这个有限区间内，即$\arctan x$是有界量。
- 而当$x\to\infty$时，分母$x$是无穷大量。
- 根据极限的性质：当分子是有界量，分母是无穷大量时，整个分式的极限为$0$。所以$\lim_{x \to \infty} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\text{有界量}}{\text{无穷大量}} = 0$。
- 方法二：使用夹逼定理
- 因为反正切函数$y = \arctan x$的值域为$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，所以对于任意的$x$，都有$-\frac{\pi}{2}<\arctan x<\frac{\pi}{2}$。
- 当$x>0$时，不等式两边同时除以$x$，不等号方向不变，得到$-\frac{\pi}{2x}<\frac{\arctan x}{x}<\frac{\pi}{2x}$。
- 接下来分别求不等式两边函数的极限：
- 计算$\lim_{x \to \infty} (-\frac{\pi}{2x})$，根据极限运算法则$\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x}=0$（$c$为常数），这里$c = -\frac{\pi}{2}$，所以$\lim_{x \to \infty} (-\frac{\pi}{2x}) = 0$。
- 计算$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi}{2x}$，同样根据极限运算法则$\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x}=0$（$c$为常数），这里$c = \frac{\pi}{2}$，所以$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi}{2x} = 0$。
- 由夹逼定理：若$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$，且$\lim_{x \to a} f(x)=\lim_{x \to a} h(x)=L$，则$\lim_{x \to a} g(x)=L$。在这里$f(x)=-\frac{\pi}{2x}$，$g(x)=\frac{\arctan x}{x}$，$h(x)=\frac{\pi}{2x}$，$a = \infty$，$L = 0$，所以$\lim_{x \to \infty} \frac{\arctan x}{x} = 0$。