下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类．如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：(1) =dfrac ({x)^2-1}({x)^2-3x+2} ,=1, x=2;-|||-(2) =dfrac (x)(tan x) ,x=k, =kpi +dfrac (pi )(2)(k=0,pm 1,pm 2,... );-|||-(3) =(cos )^2dfrac (1)(x) ,x=0;-|||-(4) y= -x xgt 1 ,=1.

考查要点：判断函数间断点的类型（第一类、第二类；可去、跳跃、无穷、振荡），并处理可去间断点使其连续。

解题思路：

1. 确定间断点位置：函数无定义或极限不存在的点。
2. 分类判断：
   • 第一类间断点：左右极限存在（可去或跳跃）。
   • 第二类间断点：极限不存在（无穷或振荡）。
3. 可去间断点处理：补充或修改函数值使其等于极限值。

第（1）题

函数：$y=\dfrac{x^2-1}{x^2-3x+2}$
间断点：$x=1$，$x=2$

1. 分解因式：
   $\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-2)(x-1)} = \dfrac{x+1}{x-2}$（$x \neq 1,2$）。
2. 判断类型：
   • $x=2$：分母趋近于0，极限为无穷大，第二类间断点。
   • $x=1$：约分后极限为$-2$，但原函数无定义，可去间断点。补充定义$y=-2$即可连续。

第（2）题

函数：$y=\dfrac{x}{\tan x}$
间断点：$x=k\pi$，$x=k\pi+\dfrac{\pi}{2}$（$k \in \mathbb{Z}$）

1. 分析$x=k\pi$：
   • $k \neq 0$时，$\tan x$趋近于0，极限为无穷大，第二类间断点。
   • $k=0$时，$\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} = 1$，可去间断点。补充定义$y=1$即可连续。
2. 分析$x=k\pi+\dfrac{\pi}{2}$：
   • $\tan x$无定义，但$\lim_{x \to k\pi+\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{x}{\tan x} = 0$，可去间断点。补充定义$y=0$即可连续。

第（3）题

函数：$y=\cos^2 \dfrac{1}{x}$
间断点：$x=0$

• 极限分析：当$x \to 0$时，$\dfrac{1}{x}$振荡无穷次，$\cos^2 \dfrac{1}{x}$在$[0,1]$间无极限，第二类间断点。

第（4）题

函数：$y=\begin{cases} x-1 & x \leq 1 \\ 3-x & x > 1 \end{cases}$
间断点：$x=1$

• 左右极限：$\lim_{x \to 1^-} y = 0$，$\lim_{x \to 1^+} y = 2$，左右极限不相等，第一类不可去间断点。