题目
设 X sim N(-1, sigma^2) 且 P(-3 A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.5
设 $X \sim N(-1, \sigma^2)$ 且 $P(-3 < X < -1)= 0.4$，则 $P(X \geq 1)= (\quad)$.
A. 0.1
B. 0.2
C. 0.3
D. 0.5
题目解答
答案
A. 0.1
解析
步骤 1：理解正态分布的性质
正态分布关于其均值对称。已知 $X \sim N(-1, \sigma^2)$，分布的均值是 $-1$。因此，正态分布曲线在 $X = -1$ 处对称。
步骤 2：利用对称性计算 $P(-1 < X < 1)$
已知 $P(-3 < X < -1) = 0.4$。由于正态分布关于均值对称，概率 $P(-1 < X < 1)$ 与 $P(-3 < X < -1)$ 相同。因此，我们有： \[P(-1 < X < 1) = 0.4.\]
步骤 3：计算 $P(X \geq 1)$
正态分布曲线下的总概率是 1。概率 $P(X < 1)$ 可以分解为两部分： \[P(X < 1) = P(X \leq -1) + P(-1 < X < 1).\] 由于均值是 $-1$，概率 $P(X \leq -1)$ 是 0.5（因为正态分布是对称的，一半的分布位于均值以下）。因此，我们有： \[P(X < 1) = 0.5 + 0.4 = 0.9.\] 因此，概率 $P(X \geq 1)$ 是： \[P(X \geq 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - 0.9 = 0.1.\]
正态分布关于其均值对称。已知 $X \sim N(-1, \sigma^2)$，分布的均值是 $-1$。因此，正态分布曲线在 $X = -1$ 处对称。
步骤 2：利用对称性计算 $P(-1 < X < 1)$
已知 $P(-3 < X < -1) = 0.4$。由于正态分布关于均值对称，概率 $P(-1 < X < 1)$ 与 $P(-3 < X < -1)$ 相同。因此，我们有： \[P(-1 < X < 1) = 0.4.\]
步骤 3：计算 $P(X \geq 1)$
正态分布曲线下的总概率是 1。概率 $P(X < 1)$ 可以分解为两部分： \[P(X < 1) = P(X \leq -1) + P(-1 < X < 1).\] 由于均值是 $-1$，概率 $P(X \leq -1)$ 是 0.5（因为正态分布是对称的，一半的分布位于均值以下）。因此，我们有： \[P(X < 1) = 0.5 + 0.4 = 0.9.\] 因此，概率 $P(X \geq 1)$ 是： \[P(X \geq 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - 0.9 = 0.1.\]