9(3分).单项选择题设随机变量(X,Y)满足方差D(X+Y)=D(X-Y),则必有( )A. X与Y独立;B. X与Y不相关;C. X与Y不独立;D. D(X)=0或D(Y)=0

考查要点：本题主要考查随机变量和与差的方差公式，以及协方差与不相关的概念关系。

解题核心思路：通过展开方差表达式，利用协方差的性质建立等式，推导出协方差为零，从而得出变量不相关的结论。

破题关键点：

1. 方差展开公式：$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$，$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)$。
2. 等式化简：通过等式$D(X+Y) = D(X-Y)$消去相同项，得到$\text{Cov}(X,Y) = 0$。
3. 不相关定义：协方差为零等价于随机变量不相关，但独立性需要额外条件。

步骤1：展开方差表达式

根据方差性质：
$\begin{aligned}D(X+Y) &= D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y), \\D(X-Y) &= D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y).\end{aligned}$

步骤2：建立等式并化简

题目条件$D(X+Y) = D(X-Y)$代入得：
$D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y).$

消去相同项$D(X) + D(Y)$后，得到：
$2\text{Cov}(X,Y) = -2\text{Cov}(X,Y).$

进一步化简：
$4\text{Cov}(X,Y) = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Cov}(X,Y) = 0.$

步骤3：分析结论

协方差$\text{Cov}(X,Y) = 0$说明$X$与$Y$不相关（选项B）。其他选项分析如下：

• 选项A：独立性要求更强，不相关不一定独立。
• 选项C：可能存在不相关但独立的情况（如正态分布），因此不必然成立。
• 选项D：若$D(X)=0$或$D(Y)=0$，协方差自然为零，但题目未限定此类情况，因此非必选项。