题目

5.已知Xsim N(2,4),Ysim N(3,2),且X、Y相互独立,则X-2Ysim ___.

5.已知X$\sim N(2,4)$,Y$\sim N(3,2)$,且X、Y相互独立,则X-2Y$\sim$ ___.

题目解答

答案

为了确定随机变量 $X - 2Y$ 的分布，已知 $X \sim N(2, 4)$ 和 $Y \sim N(3, 2)$，且 $X$ 和 $Y$ 相互独立，我们可以使用正态分布的性质。具体来说，正态随机变量的线性组合也是正态分布的。 正态分布的均值和方差的性质如下： 1. 如果 $X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$ 和 $Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$ 是独立的，那么对于任何常数 $a$ 和 $b$，线性组合 $aX + bY$ 服从正态分布 $N(a\mu_X + b\mu_Y, a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2)$。 在我们的情况下，我们有 $X - 2Y$，所以 $a = 1$ 和 $b = -2$。因此，$X - 2Y$ 的均值和方差为： - 均值：$\mu_{X - 2Y} = 1 \cdot \mu_X + (-2) \cdot \mu_Y = \mu_X - 2\mu_Y = 2 - 2 \cdot 3 = 2 - 6 = -4$。 - 方差：$\sigma_{X - 2Y}^2 = 1^2 \cdot \sigma_X^2 + (-2)^2 \cdot \sigma_Y^2 = \sigma_X^2 + 4\sigma_Y^2 = 4 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12$。 因此，随机变量 $X - 2Y$ 服从正态分布 $N(-4, 12)$。 最终答案是 $\boxed{N(-4, 12)}$。

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的线性组合性质，特别是独立正态变量的线性组合的均值和方差的计算。

解题核心思路：

  1. 正态分布的封闭性：若两个独立正态变量的线性组合仍服从正态分布。
  2. 均值与方差的计算：利用线性组合的均值公式 $\mu_{aX+bY} = a\mu_X + b\mu_Y$，方差公式 $\sigma_{aX+bY}^2 = a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2$（独立时无协方差项）。

破题关键点：

  • 正确代入系数：将 $X-2Y$ 对应到 $a=1$，$b=-2$。
  • 准确计算均值和方差：注意符号和平方运算。

已知 $X \sim N(2, 4)$，$Y \sim N(3, 2)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，求 $X - 2Y$ 的分布。

步骤1：确定线性组合的均值

根据正态变量线性组合的均值公式：
$\mu_{X-2Y} = 1 \cdot \mu_X + (-2) \cdot \mu_Y = 2 - 2 \cdot 3 = -4.$

步骤2：确定线性组合的方差

根据正态变量线性组合的方差公式（独立时）：
$\sigma_{X-2Y}^2 = 1^2 \cdot \sigma_X^2 + (-2)^2 \cdot \sigma_Y^2 = 4 + 4 \cdot 2 = 12.$

结论

因此，$X - 2Y$ 服从正态分布 $N(-4, 12)$。