题目
3、设K在(0,5)服从均匀分布，则方程4x^2+4Kx+K+2=0有实根的概率为_____.
3、设K在(0,5)服从均匀分布，则方程$4x^{2}+4Kx+K+2=0$有实根的概率为_____.
题目解答
答案
方程 $4x^2 + 4Kx + K + 2 = 0$ 的判别式为：
\[
\Delta = 16K^2 - 16(K + 2) = 16(K^2 - K - 2)
\]
令 $\Delta \geq 0$，解得：
\[
K^2 - K - 2 \geq 0 \implies K \leq -1 \text{ 或 } K \geq 2
\]
由于 $K$ 在 $(0, 5)$ 上服从均匀分布，仅考虑 $K \geq 2$。概率为：
\[
P(K \geq 2) = \frac{5 - 2}{5 - 0} = \frac{3}{5}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{3}{5}}$
解析
考查要点：本题主要考查二次方程有实根的条件（判别式非负）以及均匀分布的概率计算。
解题核心思路：
- 判别式条件：方程有实根的充要条件是判别式 $\Delta \geq 0$，需通过判别式求出 $K$ 的范围。
- 区间概率计算：结合 $K$ 在 $(0,5)$ 上的均匀分布，计算满足条件的 $K$ 值所占的比例。
破题关键点：
- 正确计算判别式：展开并化简判别式，得到关于 $K$ 的不等式。
- 解不等式并筛选有效区间：注意 $K$ 的取值范围为 $(0,5)$，需排除不符合的区间。
- 均匀分布的概率公式：概率等于满足条件的区间长度除以总区间长度。
步骤1：计算判别式
方程 $4x^2 + 4Kx + K + 2 = 0$ 的判别式为：
$\Delta = (4K)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (K + 2) = 16K^2 - 16(K + 2) = 16(K^2 - K - 2)$
步骤2：求判别式非负的条件
令 $\Delta \geq 0$，即：
$K^2 - K - 2 \geq 0$
解方程 $K^2 - K - 2 = 0$，得根 $K = 2$ 或 $K = -1$。因此，不等式解集为：
$K \leq -1 \quad \text{或} \quad K \geq 2$
步骤3：筛选有效区间
由于 $K \in (0,5)$，仅保留 $K \geq 2$ 的部分，即 $K \in [2,5)$。
步骤4：计算概率
满足条件的区间长度为 $5 - 2 = 3$，总区间长度为 $5 - 0 = 5$，因此概率为：
$P = \frac{3}{5}$