[题目]设三元线性方程组 Ax=b ,A的秩为2,m,-|||-m2,n3为方程组的解, _(1)+(n)_(2)=((2,0,4))^T ,-|||-_(1)+(n)_(3)=((1,-2,1))^T ,则对任意常数k,方程组 Ax=b 的通-|||-解为 ()-|||-A. ((1,0,2))^T+k(1,-2,1)T-|||-B. ((1,-2,1))^T+k((2,0,4))^T-|||-C. ((2,0,4))^T+k(1,-2,1)T-|||-D. ((1,0,2))^T+k((1,2,3))^T

考查要点：本题主要考查线性方程组解的结构，特别是非齐次方程组的通解形式。需要结合系数矩阵的秩、基础解系的求解以及特解的确定进行分析。

解题核心思路：

1. 确定齐次方程组的基础解系：由系数矩阵$A$的秩为2，未知数个数为3，可知齐次方程组$Ax=0$的解空间维数为$3-2=1$，即基础解系仅含一个向量。
2. 利用解的差构造齐次解：非齐次方程组的任意两个解之差为齐次方程组的解，通过已知条件构造基础解系。
3. 确定非齐次方程组的特解：通过线性组合或已知解求出特解，最终写出通解形式。

破题关键点：

• 从解的差中提取基础解系：通过$m_1+n_2$和$m_1+n_3$的差，得到齐次方程组的解向量。
• 合理选取特解：通过线性组合构造满足方程的特解。

步骤1：求齐次方程组的基础解系

1. 已知$m_1+n_2=(2,0,4)^T$，$m_1+n_3=(1,-2,1)^T$。
2. 计算两式之差：
   $(m_1+n_2)-(m_1+n_3) = (2,0,4)^T - (1,-2,1)^T = (1,2,3)^T.$
   由于$m_2-n_3$是齐次方程组$Ax=0$的解，且基础解系仅含一个向量，故基础解系为$(1,2,3)^T$。

步骤2：求非齐次方程组的特解

1. 取$m_1+n_2=(2,0,4)^T$，将其除以2得：
   $\frac{1}{2}(m_1+n_2) = \frac{1}{2}(2,0,4)^T = (1,0,2)^T.$
   验证可知，该向量满足$Ax=b$，故特解为$(1,0,2)^T$。

步骤3：写出通解形式

通解为特解与齐次解的线性组合：
$(1,0,2)^T + k(1,2,3)^T \quad (k \text{为任意常数}).$