题目
11、设随机变量X~N(1,2²), Φ(1)=0.8413, 则事件“1≤X≤3”的概率为（）。A. 0.1385B. 0.2413C. 0.2934D. 0.3413
11、设随机变量X~N(1,2²), Φ(1)=0.8413, 则事件“1≤X≤3”的概率为（）。
A. 0.1385
B. 0.2413
C. 0.2934
D. 0.3413
题目解答
答案
D. 0.3413
解析
步骤 1：标准化随机变量
将随机变量 $X$ 标准化为 $Z = \frac{X - 1}{2}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。这是因为 $X$ 的均值为 $1$，方差为 $2^2 = 4$，所以 $Z$ 的均值为 $0$，方差为 $1$。
步骤 2：转换概率
求 $P\{1 \le X \le 3\}$ 转换为 $P\{0 \le Z \le 1\}$。这是因为当 $X = 1$ 时，$Z = \frac{1 - 1}{2} = 0$；当 $X = 3$ 时，$Z = \frac{3 - 1}{2} = 1$。
步骤 3：利用标准正态分布函数
利用标准正态分布函数 $\Phi(z)$，有：\[ P\{0 \le Z \le 1\} = \Phi(1) - \Phi(0) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413 \]
将随机变量 $X$ 标准化为 $Z = \frac{X - 1}{2}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。这是因为 $X$ 的均值为 $1$，方差为 $2^2 = 4$，所以 $Z$ 的均值为 $0$，方差为 $1$。
步骤 2：转换概率
求 $P\{1 \le X \le 3\}$ 转换为 $P\{0 \le Z \le 1\}$。这是因为当 $X = 1$ 时，$Z = \frac{1 - 1}{2} = 0$；当 $X = 3$ 时，$Z = \frac{3 - 1}{2} = 1$。
步骤 3：利用标准正态分布函数
利用标准正态分布函数 $\Phi(z)$，有：\[ P\{0 \le Z \le 1\} = \Phi(1) - \Phi(0) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413 \]