题目

已知总体X~N(μ,4)，从中抽取容量为n的样本，bar(X)为样本均值.若要求P( | bar(X)-mu |<1)geqslant 0.95，则样本容量n至少为( ) (已知Phi(1.96)=0.975)

已知总体X~N(μ,4)，从中抽取容量为n的样本，$\bar{X}$为样本均值.若要求P($\left | \bar{X}-\mu \right |<1$)$\geqslant 0.95$，则样本容量n至少为( ) (已知$\Phi(1.96)=0.975$)

题目解答

答案

已知总体 $ X \sim N(\mu, 4) $，样本均值 $ \bar{X} $ 服从 $ N\left(\mu, \frac{4}{n}\right) $。
要求 $ P(|\bar{X} - \mu| < 1) \geq 0.95 $，即
$P\left(-1 < \bar{X} - \mu < 1\right) \geq 0.95$
标准化得
$P\left(-\frac{\sqrt{n}}{2} < Z < \frac{\sqrt{n}}{2}\right) \geq 0.95$
其中 $ Z \sim N(0, 1) $，由对称性
$2\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right) - 1 \geq 0.95$
解得
$\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right) \geq 0.975$
由 $ \Phi(1.96) = 0.975 $，得
$\frac{\sqrt{n}}{2} \geq 1.96 \quad \Rightarrow \quad n \geq (3.92)^2 \approx 15.3664$
取整数得 $ n \geq 16 $。

答案： $\boxed{16}$

解析

本题考查正态分布的性质以及样本均值的分布，解题的关键在于利用样本均值的分布将所求概率进行标准化，再结合标准正态分布的性质求解样本容量。

  1. 确定样本均值的分布：
    已知总体$X\sim N(\mu,4)$，从中抽取容量为$n$的样本，根据样本均值的性质，样本均值$\bar{X}$服从正态分布$N\left(\mu, \frac{4}{n}\right)$。
  2. 对概率不等式进行标准化：
    要求$P(|\bar{X} - \mu| < 1) \geq 0.95$，即$P\left(-1 < \bar{X} - \mu < 1\right) \geq 0.95$。
    为了利用标准正态分布，对不等式进行标准化处理，令$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{4}{n}}}=\frac{\bar{X} - \mu}{\frac{2}{\sqrt{n}}}$，则$\bar{X} - \mu=\frac{2}{\sqrt{n}}Z$。
    将其代入不等式可得：
    $P\left(-1 < \frac{2}{\sqrt{n}}Z < 1\right) \geq 0.95$
    不等式两边同时除以$\frac{2}{\sqrt{n}}$（因为$\frac{2}{\sqrt{n}}>0$，不等号方向不变），得到$P\left(-\frac{\sqrt{n}}{2} < Z < \frac{\sqrt{n}}{2}\right) \geq 0.95$，其中$Z \sim N(0, 1)$。
  3. 利用标准正态分布的性质求解：
    根据标准正态分布的性质，$P\left(-\frac{\sqrt{n}}{2} < Z < \frac{\sqrt{n}}{2}\right)=\varPhi\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right)-\varPhi\left(-\frac{\sqrt{n}}{2}\right)$，又因为标准正态分布关于$y$轴对称，所以$\varPhi\left(-\frac{\sqrt{n}}{2}\right)=1 - \varPhi\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right)$。
    则$P\left(-\frac{\sqrt{n}}{2} < Z < \frac{\sqrt{n}}{2}\right)=\varPhi\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right)-(1 - \varPhi\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right))=2\varPhi\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right) - 1$。
    所以$2\varPhi\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right) - 1 \geq 0.95$。
  4. 求解样本容量$n$：
    对$2\varPhi\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right) - 1 \geq 0.95$进行移项可得$2\varPhi\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right) \geq 0.95 + 1 = 1.95$，两边同时除以$2$，得到$\varPhi\left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right) \geq 0.975$。
    已知$\varPhi(1.96) = 0.975$，因为标准正态分布函数$\varPhi(x)$是单调递增的，所以$\frac{\sqrt{n}}{2} \geq 1.96$。
    两边同时乘以$2$得到$\sqrt{n} \geq 1.96\times2 = 3.92$，两边再同时平方可得$n \geq (3.92)^2 = 15.3664$。
    由于样本容量$n$为正整数，所以$n$至少取$16$。