一、单选题（共20题，100.0分）4.（单选题，5.0分）设A，B，C均为n阶矩阵，且ABC=E，则必有（）A BCA=EB BAC=EC CBA=ED ACB=E
题目解答
答案
由题意 $ABC = E$，知 $A$、$B$、$C$ 均可逆。
将等式两边右乘 $A^{-1}$，得 $ABCA^{-1} = A^{-1}$，再左乘 $A$，得 $ABC = E$（无简化）。
或直接利用逆矩阵性质：
$A = (BC)^{-1} \implies BCA = BC(BC)^{-1} = E$
其他选项分析：
- $BAC = E$：$A = B^{-1}C^{-1}$，但 $A = (BC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}$，不成立。
- $CBA = E$：$A = C^{-1}B^{-1}$，但 $CBA = CB C^{-1} B^{-1}$，不成立。
- $ACB = E$：$A = (CB)^{-1}$，但 $A = C^{-1}B^{-1}$，不成立。
答案： $\boxed{A}$
解析
本题考查矩阵可逆的性质以及逆矩阵的运算规则。解题的关键在于根据已知条件$ABC = E$，利用矩阵可逆的定义和性质来判断各个选项是否成立。
已知条件分析
已知$A$，$B$，$C$均为$n$阶矩阵，且$ABC = E$。根据可逆矩阵的定义：对于$n$阶矩阵$M$和$N$，若$MN = E$，则$M$可逆，且$M^{-1}=N$，$N$可逆，且$N^{-1}=M$。所以由$ABC = E$可知$A$、$B$、$C$均可逆，并且$A$与$BC$互为逆矩阵，即$A=(BC)^{-1}$，$BC = A^{-1}$。
选项A分析
因为$A=(BC)^{-1}$，根据逆矩阵的性质：对于可逆矩阵$M$，有$MM^{-1}=M^{-1}M = E$。所以$BCA = BC(BC)^{-1}=E$，故选项A正确。
选项B分析
若$BAC = E$，则$A = B^{-1}C^{-1}$。而由$ABC = E$可得$A=(BC)^{-1}$，根据逆矩阵的运算规则$(MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}$，所以$(BC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}$。一般情况下$B^{-1}C^{-1}\neq C^{-1}B^{-1}$，即$A = B^{-1}C^{-1}$不成立，所以$BAC = E$不成立，选项B错误。
选项C分析
若$CBA = E$，则$A = C^{-1}B^{-1}$。但$CBA = CB C^{-1} B^{-1}$，一般情况下$CB C^{-1} B^{-1}\neq E$，所以$CBA = E$不成立，选项C错误。
选项D分析
若$ACB = E$，则$A = (CB)^{-1}$。同样根据逆矩阵运算规则$(CB)^{-1}=B^{-1}C^{-1}$，而$A=(BC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}$，一般情况下$B^{-1}C^{-1}\neq C^{-1}B^{-1}$，即$A = (CB)^{-1}$不成立，所以$ACB = E$不成立，选项D错误。