设向量组 alpha_1=} a 2 10 , 当 a, b, c 满足()时, beta 不能表为 alpha_1, alpha_2, alpha_3 的线性组合.A. a neq -4B. a=-4, 3b-c=1C. a=4, 3b-c=1D. a=-4, 3b-c neq 1

本题考查向量能否由向量组线性表示的知识点，解题思路是通过将向量的线性组合问题转化为线性方程组的解的问题，利用矩阵的初等行变换来判断方程组是否有解。

设存在一组实数 $x_1,x_2,x_3$，使得 $\beta = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3$，即：
$\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ c \end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$
可得到线性方程组：
$\begin{cases}ax_1 - 2x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 = b \\ 10x_1 + 5x_2 + 4x_3 = c \end{cases}$
其增广矩阵为：
$\begin{pmatrix} a & -2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & b \\ 10 & 5 & 4 & c \end{pmatrix}$
对增广矩阵进行初等行变换：

• 第二行乘以$2$加到第一行，第三行减去第二行的$5$倍，得到：
  $\begin{pmatrix} a + 4 & 0 & 1 & 1 + 2b \\ 2 & 1 & 1 & b \\ 0 & 0 & -1 & c - 5b \end{pmatrix}$
• 第一行加上第三行，得到：
  $\begin{pmatrix} a + 4 & 0 & 0 & 1 + 2b + c - 5b \\ 2 & 1 & 1 & b \\ 0 & 0 & -1 & c - 5b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a + 4 & 0 & 0 & 1 - 3b + c \\ 2 & 1 & 1 & b \\ 0 & 0 & -1 & c - 5b \end{pmatrix}$

当$a + 4\neq 0$，即$a\neq -4$时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于未知数的个数$3$，此时方程组有唯一解，$\beta$能由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示。

当$a + 4 = 0$，即$a = -4$时，增广矩阵变为：
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 - 3b + c \\ 2 & 1 & 1 & b \\ 0 & 0 & -1 & c - 5b \end{pmatrix}$
若$1 - 3b + c = 0$，即$3b - c = 1$，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于未知数的个数$3$，此时方程组有无穷多解，$\beta$能由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示。

若$1 - 3b + c \neq 0$，即$3b - c \neq 1$，系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，此时方程组无解，$\beta$不能由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示。

综上，当$a = -4$且$3b - c \neq 1$时，$\beta$不能表为$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$的线性组合。