题目
某项任务完成所需时间X(单位:天)服从正态分布 N(100,5^2),奖-|||-金办法规定:该项任务若在100天内完成,则得奖金10000元;若在100天至-|||-115天内完成,则得奖金1000元;若完成时间超过115天,则罚款5000元,试-|||-求完成该项任务获得的平均奖金数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量Y
设Y为完成该项任务所获奖金数，由题意知，Y是X的函数，即
$Y=g(X)= \left \{ \begin{matrix} 10000,\quad 0\lt x\lt 100,\\ 1000,\quad 100\leqslant x\leqslant 115\\ -5000,\quad x\gt 115.\end{matrix} \right.$
步骤 2：计算概率
由 $X\sim N({100,{5}^{2}})$ ，得
$P(X<100)=\Phi \left(\frac{100-100}{5}\right)=\Phi(0)=0.5$
$P(100\leqslant X\leqslant 115)=\Phi \left(\frac{115-100}{5}\right)-\Phi \left(\frac{100-100}{5}\right)=\Phi(3)-\Phi(0)=0.9987-0.5=0.4987$
$P(X>115)=1-\Phi \left(\frac{115-100}{5}\right)=1-\Phi(3)=1-0.9987=0.0013$
步骤 3：计算期望
由公式(4.2)得
$E(Y)=10000\times 0.5+1000\times 0.4987-5000\times 0.0013=5492.2$
设Y为完成该项任务所获奖金数，由题意知，Y是X的函数，即
$Y=g(X)= \left \{ \begin{matrix} 10000,\quad 0\lt x\lt 100,\\ 1000,\quad 100\leqslant x\leqslant 115\\ -5000,\quad x\gt 115.\end{matrix} \right.$
步骤 2：计算概率
由 $X\sim N({100,{5}^{2}})$ ，得
$P(X<100)=\Phi \left(\frac{100-100}{5}\right)=\Phi(0)=0.5$
$P(100\leqslant X\leqslant 115)=\Phi \left(\frac{115-100}{5}\right)-\Phi \left(\frac{100-100}{5}\right)=\Phi(3)-\Phi(0)=0.9987-0.5=0.4987$
$P(X>115)=1-\Phi \left(\frac{115-100}{5}\right)=1-\Phi(3)=1-0.9987=0.0013$
步骤 3：计算期望
由公式(4.2)得
$E(Y)=10000\times 0.5+1000\times 0.4987-5000\times 0.0013=5492.2$