样本(X_1, X_2, ..., X_n)，n >2,取自总体zeta，mu = mathbb(E)zeta，sigma^2 = mathbb(D)zeta，则有()。A. X_i (1 leq i leq n)不是mu的无偏估计B. (1)/(2)[(X_1 - mu)^2 + (X_2 - mu)^2]是sigma^2的无偏估计C. (1)/(3)[(X_1 - mu)^2 + 2(X_2 - mu)^2]是sigma^2的无偏估计D. (1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_i - mu)^2是sigma^2的无偏估计

考查要点：本题主要考查无偏估计的概念及其在方差估计中的应用。
解题核心思路：

1. 无偏估计的定义：估计量的期望等于被估计的参数。
2. 方差的无偏估计：需验证估计量的期望是否等于总体方差$\sigma^2$。
   破题关键点：

• 选项A：直接判断单个样本是否为均值的无偏估计。
• 选项B、C：通过计算加权平方差的期望，判断是否等于$\sigma^2$。
• 选项D：注意分母为$n-1$时，若直接使用总体均值$\mu$，会导致期望不等于$\sigma^2$。

选项A

分析：
单个样本$X_i$的期望为$\mathbb{E}[X_i] = \mu$，因此$X_i$是$\mu$的无偏估计。
结论：选项A错误。

选项B

分析：
计算$\frac{1}{2}[(X_1 - \mu)^2 + (X_2 - \mu)^2]$的期望：
$\begin{aligned}\mathbb{E}\left[\frac{1}{2}((X_1 - \mu)^2 + (X_2 - \mu)^2)\right] &= \frac{1}{2}(\mathbb{E}[(X_1 - \mu)^2] + \mathbb{E}[(X_2 - \mu)^2]) \\&= \frac{1}{2}(\sigma^2 + \sigma^2) = \sigma^2.\end{aligned}$
结论：选项B正确。

选项C

分析：
计算$\frac{1}{3}[(X_1 - \mu)^2 + 2(X_2 - \mu)^2]$的期望：
$\begin{aligned}\mathbb{E}\left[\frac{1}{3}((X_1 - \mu)^2 + 2(X_2 - \mu)^2)\right] &= \frac{1}{3}(\mathbb{E}[(X_1 - \mu)^2] + 2\mathbb{E}[(X_2 - \mu)^2]) \\&= \frac{1}{3}(\sigma^2 + 2\sigma^2) = \sigma^2.\end{aligned}$
结论：选项C正确。

选项D

分析：
计算$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)^2$的期望：
$\begin{aligned}\mathbb{E}\left[\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)^2\right] &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}[(X_i - \mu)^2] \\&= \frac{1}{n-1} \cdot n\sigma^2 = \frac{n}{n-1}\sigma^2 \neq \sigma^2.\end{aligned}$
结论：选项D错误。