7.若X,Y满足 D(X+Y)=D(X-Y) ,则下列说法错误的是 ()-|||-A.X与Y不一定相互独立 B.X与Y不相关-|||-C. E(XY)=E(X)E(Y) D.X与Y相互独立

考查要点：本题主要考查方差的性质、协方差与独立性的关系，以及不相关与独立之间的区别。

解题核心思路：

1. 利用方差公式展开条件$D(X+Y)=D(X-Y)$，推导出协方差$Cov(X,Y)=0$，从而得出$X$与$Y$不相关。
2. 结合方差性质进一步分析，发现$Y$必须是常数，从而$X$与$Y$必然独立。
3. 通过选项对比，判断错误说法。

破题关键点：

• 协方差为零意味着不相关，但独立性需要更强的条件。
• 当$Y$为常数时，$X$与$Y$必然独立，因此选项A的“不一定独立”是错误的。

条件展开与协方差推导

根据方差公式：
$\begin{aligned}D(X+Y) &= D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y), \\D(X-Y) &= D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y).\end{aligned}$
由$D(X+Y)=D(X-Y)$得：
$D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y),$
化简得$4Cov(X,Y)=0$，即$Cov(X,Y)=0$。因此：

• $X$与$Y$不相关（选项B正确），
• $E(XY)=E(X)E(Y)$（选项C正确）。

进一步分析$Y$的性质

由$Cov(X,Y)=0$，结合方差性质：
$D(X+Y) - D(X-Y) = 4Cov(X,Y) = 0.$
进一步推导可得$D(Y)=0$，即$Y$是常数。此时：

• $X$与$Y$必然独立（常数与任何随机变量独立），
• 因此选项D正确，选项A（“不一定独立”）错误。