题目

Xsim N(mu,sigma^2),(X_(1),X_(2),...,X_(n))为来自于总体X的样本，overline(X)和s^2为样本均值和样本方差。若要检验的假设为H_(0):mu=mu_(0)rightarrow H_(1):muneqmu_(0),则当sigma未知时，检验统计量为T=(overline(X)-mu_(0))/(S)sqrt(n),拒绝域为|t|geq t_(alpha/2)(n-1).（）A 正确B 错误

$X\sim N(\mu,\sigma^{2}),(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$为来自于总体$X$的样本，$\overline{X}$和$s^{2}$为样本均值和样本方差。若要检验的假设为$H_{0}:\mu=\mu_{0}\leftrightarrow H_{1}:\mu\neq\mu_{0},$则当$\sigma$未知时，检验统计量为$T=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{S}\sqrt{n},$拒绝域为$|t|\geq t_{\alpha/2}(n-1).$ （） A 正确 B 错误

题目解答

答案

当总体标准差 $\sigma$ 未知时，检验总体均值 $\mu$ 的假设 $H_0: \mu = \mu_0 \leftrightarrow H_1: \mu \neq \mu_0$ 使用 t 检验。检验统计量为： \[ T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S} \sqrt{n} \] 其中 $\overline{X}$ 为样本均值，$S$ 为样本标准差，$n$ 为样本大小。该统计量服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。对于双侧检验，拒绝域为： \[ |t| \ge t_{\alpha/2}(n-1) \] 其中 $t$ 为检验统计量的值，$t_{\alpha/2}(n-1)$ 为 t 分布的上 $\alpha/2$ 分位数。 因此，题目描述正确，答案为 $\boxed{A}$。

解析

本题考查正态总体均值的假设检验，当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，对总体均值 $\mu$ 进行假设检验的方法。解题思路是依据统计学中关于正态总体均值假设检验的相关理论，判断题目中所给的检验统计量和拒绝域是否正确。

  1. 确定检验方法：
    • 已知总体 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，样本为 $(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$，样本均值为 $\overline{X}$，样本方差为 $s^{2}$，要检验的假设为 $H_{0}:\mu=\mu_{0}\leftrightarrow H_{1}:\mu\neq\mu_{0}$，且 $\sigma$ 未知。
    • 根据统计学知识，当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，对正态总体均值 $\mu$ 进行假设检验应使用 t 检验。
  2. 推导检验统计量：
    • 设总体 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，样本 $(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ 来自该总体，样本均值 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$，样本方差 $s^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$。
    • 由正态分布的性质可知，$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，进一步标准化可得 $\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$。
    • 又因为 $\frac{(n - 1)s^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，且 $\overline{X}$ 与 $s^{2}$ 相互独立。
    • 根据 t 分布的定义：若 $U\sim N(0,1)$，$V\sim\chi^{2}(n)$，且 $U$ 与 $V$ 相互独立，则 $T=\frac{U}{\sqrt{V/n}}\sim t(n)$。
    • 在这里，令 $U = \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，$V=\frac{(n - 1)s^{2}}{\sigma^{2}}$，则 $T=\frac{\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n - 1)s^{2}}{\sigma^{2}}/(n - 1)}}=\frac{\overline{X}-\mu}{s}\sqrt{n}\sim t(n - 1)$。
    • 当原假设 $H_{0}:\mu=\mu_{0}$ 成立时，检验统计量为 $T=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{s}\sqrt{n}\sim t(n - 1)$。
  3. 确定拒绝域：
    • 对于双侧检验 $H_{0}:\mu=\mu_{0}\leftrightarrow H_{1}:\mu\neq\mu_{0}$，给定显著性水平 $\alpha$。
    • 我们要找到一个临界值，使得在原假设成立的情况下，检验统计量落在拒绝域的概率为 $\alpha$。
    • 由于 t 分布是关于 $y$ 轴对称的，所以拒绝域为 $|t|\geq t_{\alpha/2}(n - 1)$，其中 $t$ 是根据样本计算得到的检验统计量的值，$t_{\alpha/2}(n - 1)$ 是自由度为 $n - 1$ 的 t 分布的上 $\alpha/2$ 分位数，即 $P(|T|\geq t_{\alpha/2}(n - 1))=\alpha$。