题目
,2事件A发生的概率0.5,利用切比雪夫不等式估计:在1000次试验中,事件A发生次数在450~550之间的概率.A. le 0.9B. ge 0.9C. le 0.1D. ge 0.1
,2事件A发生的概率0.5,利用切比雪夫不等式估计:在1000次试验中,事件A发生次数在450~550之间的概率.
A. \le 0.9
B. \ge 0.9
C. \le 0.1
D. \ge 0.1
题目解答
答案
B. \ge 0.9
解析
步骤 1：定义随机变量
设随机变量X表示在1000次试验中事件A发生的次数。由于每次试验中事件A发生的概率为0.5，因此X服从二项分布，即X ~ B(1000, 0.5)。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，随机变量X的期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X) = np = 1000 * 0.5 = 500
Var(X) = np(1-p) = 1000 * 0.5 * 0.5 = 250
步骤 3：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式表明，对于任意随机变量X，其取值与期望值的偏差不超过k倍标准差的概率至少为1 - 1/k^2。即：
P(|X - E(X)| < kσ) ≥ 1 - 1/k^2
其中σ是X的标准差，σ = √Var(X) = √250 ≈ 15.81。
我们需要估计事件A发生次数在450~550之间的概率，即P(450 < X < 550)。这等价于P(|X - 500| < 50)。因此，k = 50 / σ ≈ 50 / 15.81 ≈ 3.16。
根据切比雪夫不等式，我们有：
P(|X - 500| < 50) ≥ 1 - 1/k^2 = 1 - 1/3.16^2 ≈ 1 - 1/10 ≈ 0.9
设随机变量X表示在1000次试验中事件A发生的次数。由于每次试验中事件A发生的概率为0.5，因此X服从二项分布，即X ~ B(1000, 0.5)。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，随机变量X的期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X) = np = 1000 * 0.5 = 500
Var(X) = np(1-p) = 1000 * 0.5 * 0.5 = 250
步骤 3：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式表明，对于任意随机变量X，其取值与期望值的偏差不超过k倍标准差的概率至少为1 - 1/k^2。即：
P(|X - E(X)| < kσ) ≥ 1 - 1/k^2
其中σ是X的标准差，σ = √Var(X) = √250 ≈ 15.81。
我们需要估计事件A发生次数在450~550之间的概率，即P(450 < X < 550)。这等价于P(|X - 500| < 50)。因此，k = 50 / σ ≈ 50 / 15.81 ≈ 3.16。
根据切比雪夫不等式，我们有：
P(|X - 500| < 50) ≥ 1 - 1/k^2 = 1 - 1/3.16^2 ≈ 1 - 1/10 ≈ 0.9