题目

设总体X sim N(mu, sigma^2)，sigma已知，X_1, X_2,..., X_n是来自该总体的样本，记样本均值为overline(X) = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i，样本方差为S^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2，若在显著性水平为alpha下，对假设H_0: mu = mu_0，H_1: mu neq mu_0进行检验，其检验统计量与H_0: mu = mu_0的拒绝域分别为(）。 A Z = (overline(X) - mu_0)/(sigma / sqrt(n))，|z| geq z_(alpha/2)； B t = (overline(X) - mu_0)/(S / sqrt(n))，|t| geq t_(alpha/2)(n-1)； C Z = (overline(X) - mu_0)/(sigma / sqrt(n))，|z| geq z_(alpha)； D t = (overline(X) - mu_0)/(S / sqrt(n))，|t| geq t_(alpha/2)(n)。

设总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma$已知，$X_1, X_2,..., X_n$是来自该总体的样本，记样本均值为$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，样本方差为$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$，若在显著性水平为$\alpha$下，对假设$H_0: \mu = \mu_0$，$H_1: \mu \neq \mu_0$进行检验，其检验统计量与$H_0: \mu = \mu_0$的拒绝域分别为(）。

A $Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，$|z| \geq z_{\alpha/2}$；

B $t = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$，$|t| \geq t_{\alpha/2}(n-1)$；

C $Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，$|z| \geq z_{\alpha}$；

D $t = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$，$|t| \geq t_{\alpha/2}(n)$。

题目解答

答案

为了确定假设 $ H_0: \mu = \mu_0 $ 对 $ H_1: \mu \neq \mu_0 $ 的检验统计量和拒绝域，我们需要考虑总体方差 $\sigma^2$ 是否已知。在这个问题中，$\sigma$ 已知，因此我们使用 Z 检验。 Z 检验的检验统计量由下式给出： \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \] 其中 $\bar{X}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是假设的总体均值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本大小。 对于双侧检验 $ H_0: \mu = \mu_0 $ 对 $ H_1: \mu \neq \mu_0 $，我们拒绝 $ H_0 $ 如果 $ |Z| \ge z_{\alpha/2} $。这里，$ z_{\alpha/2} $ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数。 因此，检验统计量和拒绝域为： \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}, \quad |Z| \ge z_{\alpha/2} \] 这与选项 A 相匹配。因此，正确答案是： \[ \boxed{A} \]

解析

本题考查正态总体均值的假设检验，解题关键在于根据总体方差是否已知来选择合适的检验统计量，并根据检验类型确定拒绝域。

  1. 确定检验统计量：
    • 已知总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，且$\sigma$已知，样本均值为$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$。
    • 根据正态分布的性质，$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，对其进行标准化变换，令$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$，则$Z \sim N(0, 1)$。
    • 在原假设$H_0: \mu = \mu_0$成立的条件下，检验统计量为$Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，且$Z \sim N(0, 1)$。
  2. 确定拒绝域：
    • 本题是双侧检验，原假设$H_0: \mu = \mu_0$，备择假设$H_1: \mu \neq \mu_0$。
    • 对于双侧检验，在显著性水平为$\alpha$下，拒绝域是使得$P(|Z| \geq z_{\alpha/2}) = \alpha$的区域，即拒绝域为$|z| \geq z_{\alpha/2}$，其中$z_{\alpha/2}$是标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位数。