题目

设 A 为 3 阶方阵且 |A|=2，则 |4A^-1-A^*|=

设 $A$ 为 3 阶方阵且 $|A|=2$，则 $|4A^{-1}-A^{*}|=$

题目解答

答案

由题意，$ A $ 为 3 阶方阵且 $ |A| = 2 $。利用伴随矩阵性质 $ A^* = |A| A^{-1} $，得 $ A^* = 2A^{-1} $。
代入原式：
$4A^{-1} - A^* = 4A^{-1} - 2A^{-1} = 2A^{-1}$
计算行列式：
$|2A^{-1}| = 2^3 \cdot |A^{-1}| = 8 \cdot \frac{1}{|A|} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$
答案： $\boxed{4}$

解析

本题考查考查方阵的行列式、逆矩阵以及伴随矩阵的性质及相关计算。解题思路如下：

  1. 首先，根据伴随矩阵的性质$A^{*}=|A|A^{-1}$，结合已知条件$|A| = 2$，求出$A^{*}$与$A^{-1}$的关系。
  2. 然后，将$A^{*}$与$A^{-1}$的关系代入$\vert4A^{-1}-A^{*}\vert$中，化简式子。
  3. 最后，根据方阵行列式的性质$\vert kA\vert = k^{n}\vert A\vert$（其中$k$为常数，$n$为方阵$A$的阶数）以及$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$计算化简后式子的行列式。

下面进行详细的解答：

  1. 因为$A$为$3\\)阶方阵且\(\vert A$，根据伴随矩阵的性质$A^{*}=\vert A\vert A^{-1}$，可得$A^{*}=2A^{-1$。
  2. 将$A^{*}=2A^{-1}$代入$\vert4A^{-1}-A^{*}\vert$中，得到：
    $\vert4A^{-1}-A^{*}\vert=\vert4A^{-1}-2A^{-1}\vert=\vert2A^{-1}\vert$
  3. 根据方阵行列式的性质$\vert kA\vert = k^{n}\vert\vert A\vert$（这里$k = 2$，$n = 3$），可得：
    $\vert2A^{-1}\vert=2^{3}\vert A^{-1}\vert$
    又因为$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$，且$\vert A\vert = 2$，所以$\vert A^{-1}\vert}=\frac{1}{2}$。
    则$2^{3}\vert A^{-1}\vert=8\times\frac{1小数}{2}=4$。