下列积分等于0的有()。A. oint_(C) (dz)/(z-2)B. oint_(C) (e^2z)/(z^2)+4z+4 dzC. oint_(C) (dz)/(cos z)D. oint_(C) (dz)/((z-frac(1){2))^5}

本题考查复变函数中柯西 - 古萨基本定理、柯西积分公式及其高阶导数公式的应用。解题思路是先判断被积函数的奇点是否在积分曲线 $C$ 所围成的区域内，再根据相应定理计算积分值。

选项A

对于积分$\oint_{C} \frac{dz}{z - 2}$，被积函数$f(z)=\frac{1}{z - 2}$，其奇点为$z = 2$。
若积分曲线$C$所围成的区域包含$z = 2$，根据柯西积分公式$\oint_{C}\frac{f(z)}{z - z_0}dz = 2\pi if(z_0)$（其中$f(z)$在$C$所围成的区域内解析，$z_0$在$C$内），这里$f(z)=1$，$z_0 = 2$，则$\oint_{C} \frac{dz}{z - 2}=2\pi i\times1 = 2\pi i\neq0$；若积分曲线$C$所围成的区域不包含$z = 2$，根据柯西 - 古萨基本定理，$\oint_{C} \frac{dz}{z - 2}=0$。由于题目未明确$C$的情况，所以该积分不一定为$0$。

选项B

对于积分$\oint_{C} \frac{e^{2z}}{z^{2}+4z + 4} dz$，先对分母进行因式分解$z^{2}+4z + 4=(z + 2)^2$，则被积函数$f(z)=\frac{e^{2z}}{(z + 2)^2}$，其奇点为$z = - 2$。
若积分曲线$C$所围成的区域包含$z = - 2$，根据柯西积分公式的高阶导数公式$\oint_{C}\frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)$（其中$f(z)$在$C$所围成的区域内解析，$z_0$在$C$内，$n$为正整数），这里$f(z)=e^{2z}$，$z_0 = - 2$，$n = 1$。
对$f(z)=e^{2z}$求一阶导数，根据求导公式$(e^{ax})^\prime=ae^{ax}$，可得$f^\prime(z)=2e^{2z}$，则$f^\prime(-2)=2e^{-4}$，所以$\oint_{C} \frac{e^{2z}}{(z + 2)^2} dz=\frac{2\pi i}{1!}\times2e^{-4}=4\pi ie^{-4}\neq0$；若积分曲线$C$所围成的区域不包含$z = - 2$，根据柯西 - 古萨基本定理，$\oint_{C} \frac{e^{2z}}{z^{2}+4z + 4} dz=0$。由于题目未明确$C$的情况，所以该积分不一定为$0$。

选项C

对于积分$\oint_{C} \frac{dz}{\cos z}$，令$\cos z = 0$，根据$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=0$，即$e^{2iz}=-1=e^{i(2k + 1)\pi}$（$k\in Z$），则$2iz = i(2k + 1)\pi$，解得$z=(k+\frac{1}{2})\pi$（$k\in Z$），这些点为被积函数$f(z)=\frac{1}{\cos z}$的奇点。
若积分曲线$C$所围成的区域包含某个$z=(k+\frac{1}{2})\pi$，根据柯西积分公式，积分值不为$0$；若积分曲线$C$所围成的区域不包含所有$z=(k+\frac{1}{2})\pi$，根据柯西 - 古萨基本定理，积分值为$0$。由于题目未明确$C$的情况，所以该积分不一定为$0$。

选项D

对于积分$\oint_{C} \frac{dz}{(z-\frac{1}{2})^{5}}$，被积函数$f(z)=\frac{1}{(z-\frac{1}{2})^{5}}$，其奇点为$z = \frac{1}{2}$。
若积分曲线$C$所围成的区域包含$z = \frac{1}{2}$，根据柯西积分公式的高阶导数公式$\oint_{C}\frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)$，这里$f(z)=1$，$z_0 = \frac{1}{2}$，$n = 4$。
因为$f(z)=1$，其各阶导数都为$0$，即$f^{(4)}(z)=0$，所以$\oint_{C} \frac{dz}{(z-\frac{1}{2})^{5}}=\frac{2\pi i}{4!}\times0 = 0$；若积分曲线$C$所围成的区域不包含$z = \frac{1}{2}$，根据柯西 - 古萨基本定理，$\oint_{C} \frac{dz}{(z-\frac{1}{2})^{5}}=0$。所以无论$C$的情况如何，该积分都为$0$。