题目
设 X sim N(3, 4)，试求：(1) P|X| > 2。(2) PX > 3.
设 $X \sim N(3, 4)$，试求： (1) $P\{|X| > 2\}$。 (2) $P\{X > 3\}$.
题目解答
答案
我们来逐步解决这两个概率问题。已知随机变量 $ X \sim N(3, 4) $，表示 $ X $ 服从正态分布，均值为 $ \mu = 3 $，方差为 $ \sigma^2 = 4 $，标准差为 $ \sigma = 2 $。
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### **(1) 求 $ P\{|X| > 2\} $**
我们要求的是：
$$
P(|X| > 2) = P(X > 2) + P(X < -2)
$$
因为绝对值大于 2 的情况包括两个部分：$ X > 2 $ 和 $ X < -2 $。
我们将其标准化为标准正态分布（即 $ Z \sim N(0,1) $）：
- 对于 $ P(X > 2) $：
$$
P(X > 2) = P\left( \frac{X - 3}{2} > \frac{2 - 3}{2} \right) = P(Z > -0.5)
$$
查标准正态分布表或使用计算器：
$$
P(Z > -0.5) = 1 - P(Z < -0.5) = 1 - 0.3085 = 0.6915
$$
- 对于 $ P(X < -2) $：
$$
P(X < -2) = P\left( \frac{X - 3}{2} < \frac{-2 - 3}{2} \right) = P(Z < -2.5)
$$
查表得：
$$
P(Z < -2.5) \approx 0.0062
$$
所以：
$$
P(|X| > 2) = P(X > 2) + P(X < -2) = 0.6915 + 0.0062 = \boxed{0.6977}
$$
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### **(2) 求 $ P\{X > 3\} $**
由于 $ X \sim N(3, 4) $，均值为 3，因此：
$$
P(X > 3) = P\left( \frac{X - 3}{2} > 0 \right) = P(Z > 0)
$$
查表得：
$$
P(Z > 0) = 0.5
$$
所以：
$$
P(X > 3) = \boxed{0.5}
$$
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### **最终答案：**
1. $ P(|X| > 2) = \boxed{0.6977} $
2. $ P(X > 3) = \boxed{0.5} $
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及绝对值不等式的处理及标准正态分布的转换。
解题思路：
- 标准化转换：将非标准正态分布转化为标准正态分布（均值为0，方差为1），利用标准正态分布表计算概率。
- 绝对值分解：对于绝对值不等式 $|X| > 2$，需拆分为 $X > 2$ 和 $X < -2$ 两部分分别计算。
- 对称性应用：正态分布在均值处对称，直接利用对称性简化计算。
第（1）题：求 $P\{|X| > 2\}$
分解绝对值不等式
$P(|X| > 2) = P(X > 2) + P(X < -2)$
标准化转换
-
计算 $P(X > 2)$：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{2 - 3}{2} = -0.5$
$P(X > 2) = P(Z > -0.5) = 1 - \Phi(-0.5) = 1 - 0.3085 = 0.6915$ -
计算 $P(X < -2)$：
$Z = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5$
$P(X < -2) = \Phi(-2.5) \approx 0.0062$
合并结果
$P(|X| > 2) = 0.6915 + 0.0062 = \boxed{0.6977}$
第（2）题：求 $P\{X > 3\}$
利用对称性
由于 $X$ 的均值为3，正态分布关于均值对称：
$P(X > 3) = \frac{1}{2} = \boxed{0.5}$