1.单选题下列函数中，不解析的函数是（）.A (A) w=z;B (B) w=z²;C (C) w=e^z;D (D) w=z+cosz.
题目解答
答案
解题思路
本题考查复变函数中函数解析性的判断。判断一个复变函数是否解析，通常可以通过判断其是否满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件，或者根据基本初等函数的解析性质进行判定。
核心解题步骤
设复变函数 $w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$，其中 $z = x + iy$。
函数 $f(z)$ 在一点解析，意味着它在该点及其邻域内处处可导。对于多项式、指数函数、三角函数等初等函数，它们在复平面上通常是解析的；而包含共轭变量 $\bar{z}$ 的函数通常不解析。
我们逐一分析各个选项：
选项 A：$w = \bar{z}$
将 $z = x + iy$ 代入，得到：
$w = \bar{z} = x - iy$
此时，实部 $u(x, y) = x$，虚部 $v(x, y) = -y$。
计算偏导数：
$\frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0$
$\frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1$
根据柯西-黎曼（C-R）条件，函数可导的必要条件是：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{且} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$
代入数值检验：
$\frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1$
显然 $1 \neq -1$，即 $\frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}$ 恒成立。
因此，函数 $w = \bar{z}$ 在复平面上处处不满足 C-R 条件，处处不可导，从而处处不解析。
选项 B：$w = z^2 + e^z$
$z^2$ 是多项式，在整个复平面上解析；$e^z$ 是指数函数，在整个复平面上解析。
两个解析函数的和仍然是解析函数。因此，该函数在复平面上处处解析。
选项 C：$w = e^z$
指数函数 $e^z$ 是复变函数中最基本的初等函数之一，它在整个复平面上处处解析。
选项 D：$w = z + \cos z$
$z$ 是多项式，处处解析；$\cos z$ 是复三角函数，在整个复平面上处处解析。
两个解析函数的和仍然是解析函数。因此，该函数在复平面上处处解析。
综上所述，只有选项 A 中的函数是不解析的。
标准答案
A. $w = \bar{z}$
解析
本题考查复变函数中函数解析性的判断。判断一个复变函数是否解析，通常可以通过判断其是否满足柯西 - 黎曼（Cauchy - Riemann）条件，或者根据基本初等函数的解析性质进行判定。
设复变函数 $w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$，其中 $z = x + iy$。函数 $f(z)$ 在一点解析，意味着它在该点及其邻域内处处可导。对于多项式、指数函数、三角函数等初等函数，它们在复平面上通常是解析的；而包含共轭变量 $\bar{z}$ 的函数通常不解析。
- 选项A：$w = \bar{z}$
将 $z = x + iy$ 代入，得到 $w = \bar{z} = x - iy$，此时实部 $u(x, y) = x$，虚部 $v(x, y) = -y$。
计算偏导数：
$\frac{\partial u}{\partial x} = 1$，$\frac{\partial u}{\partial y} = 0$；
$\frac{\partial v}{\partial x} = 0$，$\frac{\partial v}{\partial y} = -1$。
根据柯西 - 黎曼（C - R）条件，函数可导的必要条件是 $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ 且 $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$。
代入数值检验：$\frac{\partial u}{\partial x} = 1$，$\frac{\partial v}{\partial y} = -1$，显然 $1 \neq -1$，即 $\frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}$ 恒成立。
因此，函数 $w = \bar{z}$ 在复平面上处处不满足 C - R 条件，处处不可导，从而处处不解析。 - 选项B：$w = z^2 + e^z$
$z^2$ 是多项式，在整个复平面上解析；$e^z$ 是指数函数，在整个复平面上解析。两个解析函数的和仍然是解析函数。因此，该函数在复平面上处处解析。 - 选项C：$w = e^z$
指数函数 $e^z$ 是复变函数中最基本的初等函数之一，它在整个复平面上处处解析。 - 选项D：$w = z + \cos z$
$z$ 是多项式，处处解析；$\cos z$ 是复三角函数，在整个复平面上处处解析。两个解析函数的和仍然是解析函数。因此，该函数在复平面上处处解析。