题目
设X,Y为任意两个随机变量,则下列等式一定成立有( ).A. E(XY)=E(X)E(Y)B. E(X-Y)=E(X)-E(Y)C. D(XY)=D(X)D(Y)D. D(X-Y)=D(X)+D(Y)
设X,Y为任意两个随机变量,则下列等式一定成立有( ).
A. E(XY)=E(X)E(Y)
B. E(X-Y)=E(X)-E(Y)
C. D(XY)=D(X)D(Y)
D. D(X-Y)=D(X)+D(Y)
题目解答
答案
B. E(X-Y)=E(X)-E(Y)
解析
步骤 1：理解期望和方差的性质
期望和方差是随机变量的重要统计量。期望表示随机变量的平均值，而方差表示随机变量的离散程度。对于随机变量X和Y，期望和方差的性质如下：
- 期望的线性性质：E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)，其中a和b是常数。
- 方差的性质：D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)，其中Cov(X,Y)是X和Y的协方差。
步骤 2：分析选项A
选项A：E(XY) = E(X)E(Y)
这个等式只有在X和Y相互独立时才成立。如果X和Y不独立，那么E(XY) ≠ E(X)E(Y)。因此，选项A不一定成立。
步骤 3：分析选项B
选项B：E(X-Y) = E(X) - E(Y)
根据期望的线性性质，E(X-Y) = E(X) - E(Y)。因此，选项B一定成立。
步骤 4：分析选项C
选项C：D(XY) = D(X)D(Y)
这个等式只有在X和Y相互独立时才成立。如果X和Y不独立，那么D(XY) ≠ D(X)D(Y)。因此，选项C不一定成立。
步骤 5：分析选项D
选项D：D(X-Y) = D(X) + D(Y)
根据方差的性质，D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)。只有当X和Y不相关（即Cov(X,Y) = 0）时，D(X-Y) = D(X) + D(Y)才成立。因此，选项D不一定成立。
期望和方差是随机变量的重要统计量。期望表示随机变量的平均值，而方差表示随机变量的离散程度。对于随机变量X和Y，期望和方差的性质如下：
- 期望的线性性质：E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)，其中a和b是常数。
- 方差的性质：D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)，其中Cov(X,Y)是X和Y的协方差。
步骤 2：分析选项A
选项A：E(XY) = E(X)E(Y)
这个等式只有在X和Y相互独立时才成立。如果X和Y不独立，那么E(XY) ≠ E(X)E(Y)。因此，选项A不一定成立。
步骤 3：分析选项B
选项B：E(X-Y) = E(X) - E(Y)
根据期望的线性性质，E(X-Y) = E(X) - E(Y)。因此，选项B一定成立。
步骤 4：分析选项C
选项C：D(XY) = D(X)D(Y)
这个等式只有在X和Y相互独立时才成立。如果X和Y不独立，那么D(XY) ≠ D(X)D(Y)。因此，选项C不一定成立。
步骤 5：分析选项D
选项D：D(X-Y) = D(X) + D(Y)
根据方差的性质，D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)。只有当X和Y不相关（即Cov(X,Y) = 0）时，D(X-Y) = D(X) + D(Y)才成立。因此，选项D不一定成立。