题目

(4) int_(-infty)^infty(2-x)delta^prime(x)dx

(4) $\int_{-\infty}^{\infty}(2-x)\delta^{\prime}(x)dx$

题目解答

答案

为了解决积分 $\int_{-\infty}^{\infty}(2-x)\delta^{\prime}(x)dx$，我们将使用狄拉克 delta 函数的性质及其导数。狄拉克 delta 函数的导数，$\delta^{\prime}(x)$，具有以下性质： \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{\prime}(x) \, dx = -f^{\prime}(0) \] 其中 $f(x)$ 是一个在 $x=0$ 处可导的函数。在这个问题中，$f(x) = 2 - x$。首先，我们需要找到 $f(x)$ 的导数： \[ f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2 - x) = -1 \] 接下来，我们在 $x=0$ 处评估导数： \[ f^{\prime}(0) = -1 \] 使用狄拉克 delta 函数导数的性质，我们得到： \[ \int_{-\infty}^{\infty} (2 - x) \delta^{\prime}(x) \, dx = -f^{\prime}(0) = -(-1) = 1 \] 因此，积分的值为： \[ \boxed{1} \]

解析

本题考查狄拉克 delta 函数导数的积分性质。解题思路是利用狄拉克 delta 函数导数的积分公式$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{\prime}(x) \, dx = -f^{\prime}(0)$来计算给定积分的值，具体步骤如下：

  1. 确定被积函数$f(x)$：在积分$\int_{-\infty}^{\infty}(2 - x)\delta^{\prime}(x)dx$中，$f(x)=2 - x$。
  2. 求$f(x)$的导数：根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为$0$，对$f(x)=2 - x$求导，可得$f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(2 - x)=\frac{d}{dx}(2)-\frac{d}{dx}(x)=0 - 1=-1$。
  3. 计算$f^{\prime}(0)$的值：将$x = 0$代入$f^{\prime}(x)$，得到$f^{\prime}(0)=-1$。
  4. 利用狄拉克 delta 函数导数的积分公式计算积分：将$f^{\prime}(0)=-1$代入公式$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{\prime}(x) \, dx = -f^{\prime}(0)$，可得$\int_{-\infty}^{\infty}(2 - x)\delta^{\prime}(x)dx=-f^{\prime}(0)=-(-1)=1$。