题目

9.设总体X的概率密度为-|||-f(x)= ) (theta +1)(x)^theta , 0lt xlt 1 0, . ,-|||-其中 theta (theta gt -1) 是未知参数,X1,X2 ···,Xn为一个样本,试求参数θ的矩估计量和最大似然估计-|||-量.

题目解答

答案

解析

本题主要考查参数估计中的矩估计法和最大似然估计法。解题思路如下：

矩估计法

矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩，然后通过解方程得到参数的估计量。对于本题，我们需要先求出总体的一阶矩（即期望），然后令样本一阶矩等于总体一阶矩，进而解出参数$\theta$的矩估计量。

  1. 计算总体$X$的期望$E(X)$：
    根据期望的定义，对于连续型随机变量$X$，其期望$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$。
    已知总体$X$的概率密度为$f(x)=\begin{cases}(\theta +1)x^{\theta},&0\lt x\lt 1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，则：
    $\begin{align*}E(X)&=\int_{0}^{1}x\cdot(\theta +1)x^{\theta}dx\\&=(\theta +1)\int_{0}^{1}x^{\theta + 1}dx\\&=(\theta +1)\cdot\frac{x^{\theta + 2}}{\theta + 2}\big|_{0}^{1}\\&=\frac{\theta + 1}{\theta + 2}\end{align*}$
  2. 令样本一阶矩$\overline{X}$等于总体一阶矩$E(X)$：
    样本一阶矩$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，令$\overline{X}=\frac{\theta + 1}{\theta + 2}$。
  3. 解上述方程得到$\theta$的矩估计量：
    由$\overline{X}=\frac{\theta + 1}{\theta + 2}$，交叉相乘可得：
    $\overline{X}(\theta + 2)=\theta + 1$
    展开得：
    $\overline{X}\theta + 2\overline{X}=\theta + 1$
    移项可得：
    $\overline{X}\theta - \theta = 1 - 2\overline{X}$
    提取公因式$\theta$得：
    $\theta(\overline{X} - 1)=1 - 2\overline{X}$
    解得：
    $\theta=\frac{2\overline{X}-1}{1-\overline{X}}$

最大似然估计法

最大似然估计法的基本思想是在已知样本观测值的情况下，通过选择参数的值，使得样本出现的概率最大。具体步骤为：先写出似然函数，然后对似然函数取对数，再求对数似然函数关于参数的导数，并令导数为$0$，最后解出参数的最大似然估计量。

  1. 写出似然函数$L(\theta)$：
    设$x_1,x_2,\cdots,x_n$是样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$的一组观测值，似然函数为：
    $L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}f(x_i)=\begin{cases}\prod_{i = 1}^{n}(\theta + 1)x_i^{\theta},&0\lt x_i\lt 1(i = 1,2,\cdots,n)\\0,&\text{其他}\end{cases}$
    当$0\lt x_i\lt 1(i = 1,2,\cdots,n)$时，$L(\theta)=(\theta + 1)^n\prod_{i = 1}^{n}x_i^{\theta}$。
  2. 对似然函数取对数得到对数似然函数$\ln L(\theta)$：
    $\ln L(\theta)=n\ln(\theta + 1)+\theta\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i$
  3. 求对数似然函数关于$\theta$的导数$\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}$：
    $\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=\frac{n}{\theta + 1}+\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i$
  4. 令导数为$0$，解出$\theta$的最大似然估计量：
    令$\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=0$，即$\frac{n}{\theta + 1}+\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i = 0$。
    移项可得：
    $\frac{n}{\theta + 1}=-\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i$
    交叉相乘可得：
    $n=-(\theta + 1)\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i$
    展开得：
    $n=-\theta\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i - \sum_{i = 1}^{n}\ln x_i$
    移项可得：
    $\theta\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i=-n - \sum_{i = 1}^{n}\ln x_i$
    解得：
    $\theta=-1-\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i}$
    将$x_i$换为$X_i$，得到$\theta$的最大似然估计量$\theta_L=-1-\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i}$。