题目
设X_1, X_2 ... X_(20)是来总体N(mu, sigma^2)的样本，则下列为sigma^2的无偏统计量的是()。 A. (1)/(19) sum_(i=1)^20 (X_i - mu)^2B. (1)/(19) sum_(i=1)^20 (X_i - overline(X))^2C. (1)/(20) sum_(i=1)^20 (X_i - overline(X))^2D. (1)/(19) sum_(i=1)^20 (X_i - overline(X))^2
设$X_1, X_2 \cdots X_{20}$是来总体$N(\mu, \sigma^2)$的样本，则下列为$\sigma^2$的无偏统计量的是()。
- A. $\frac{1}{19} \sum_{i=1}^{20} (X_i - \mu)^2$
- B. $\frac{1}{19} \sum_{i=1}^{20} (X_i - \overline{X})^2$
- C. $\frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (X_i - \overline{X})^2$
- D. $\frac{1}{19} \sum_{i=1}^{20} (X_i - \overline{X})^2$
题目解答
答案
对于正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计。
当 $n=20$ 时，
- 选项 A：$\frac{1}{19} \sum_{i=1}^{20} (X_i - \mu)^2$ 的期望为 $\frac{20}{19} \sigma^2$，非无偏。
- 选项 B：$\frac{1}{19} \sum_{i=1}^{20} (X_i - \overline{X})^2$ 的期望为 $\sigma^2$，无偏。
- 选项 C：$\frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (X_i - \overline{X})^2$ 的期望为 $\frac{19}{20} \sigma^2$，非无偏。
- 选项 D：与选项 B 相同，期望为 $\sigma^2$，无偏。
**答案：** $\boxed{D}$