题目
6.设X1,X2,···,Nn是来自总体x^2(n)分布的样本,则 (overline (X))= __ ,D(X)-|||-= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解样本均值的期望
样本均值 $\overline{X}$ 是样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的算术平均值。对于来自 $\chi^2(n)$ 分布的样本，每个 $X_i$ 的期望值为 $E(X_i) = n$。因此，样本均值的期望值为 $E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot n = n$。
步骤 2：理解样本均值的方差
样本均值 $\overline{X}$ 的方差是样本方差的 $\frac{1}{n}$。对于来自 $\chi^2(n)$ 分布的样本，每个 $X_i$ 的方差为 $D(X_i) = 2n$。因此，样本均值的方差为 $D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 2n = 2$。
样本均值 $\overline{X}$ 是样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的算术平均值。对于来自 $\chi^2(n)$ 分布的样本，每个 $X_i$ 的期望值为 $E(X_i) = n$。因此，样本均值的期望值为 $E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot n = n$。
步骤 2：理解样本均值的方差
样本均值 $\overline{X}$ 的方差是样本方差的 $\frac{1}{n}$。对于来自 $\chi^2(n)$ 分布的样本，每个 $X_i$ 的方差为 $D(X_i) = 2n$。因此，样本均值的方差为 $D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 2n = 2$。