例14 (第十五届全国初赛题)在空间中给定两个不同点P，Q. 过P点的直线L(P)和过Q点的直线L(Q)正交于点M，问所有可能的正交点M构成何种曲面？证明你的结论.

为了确定所有可能的正交点 $M$ 构成的曲面，我们首先需要分析给定的条件：过点 $P$ 的直线 $L(P)$ 和过点 $Q$ 的直线 $L(Q)$ 正交于点 $M$。

1. 定义点和向量：

   • 设 $P = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $Q = (x_2, y_2, z_2)$。
   • 设 $M = (x, y, z)$ 是正交点。
   • 向量 $\overrightarrow{PM}$ 的方向向量为 $\mathbf{d}_P = (x - x_1, y - y_1, z - z_1)$。
   • 向量 $\overrightarrow{QM}$ 的方向向量为 $\mathbf{d}_Q = (x - x_2, y - y_2, z - z_2)$。

2. 正交条件：

   • 由于 $L(P)$ 和 $L(Q)$ 正交于 $M$，向量 $\mathbf{d}_P$ 和 $\mathbf{d}_Q$ 的点积为零。
   • 因此，我们有：
     $\mathbf{d}_P \cdot \mathbf{d}_Q = (x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) + (z - z_1)(z - z_2) = 0$

3. 展开并简化：

   • 展开点积，我们得到：
     $x^2 - x_2 x - x_1 x + x_1 x_2 + y^2 - y_2 y - y_1 y + y_1 y_2 + z^2 - z_2 z - z_1 z + z_1 z_2 = 0$
   • 合并同类项，我们得到：
     $x^2 + y^2 + z^2 - (x_1 + x_2)x - (y_1 + y_2)y - (z_1 + z_2)z + (x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2) = 0$

4. 识别曲面：

   • 上述方程是球面方程的标准形式 $(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2$，其中 $(h, k, l)$ 是球心， $r$ 是半径。
   • 通过完成平方，我们可以将方程重写为：
     $\left( x - \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{y_1 + y_2}{2} \right)^2 + \left( z - \frac{z_1 + z_2}{2} \right)^2 = \left( \frac{d}{2} \right)^2$
     其中 $d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}$ 是点 $P$ 和 $Q$ 之间的距离。

5. 结论：

   • 方程表示一个以 $PQ$ 的中点 $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$ 为中心，半径为 $\frac{d}{2}$ 的球面。

因此，所有可能的正交点 $M$ 构成的曲面是一个球面。答案是：
$\boxed{\text{球面}}$