题目
6.填空题注：用英文输入法输入答案解方程组}x_(1)+2x_(2)+3x_(4)=32x_(1)+5x_(2)+2x_(3)+4x_(4)=4x_(1)+4x_(2)+5x_(3)-2x_(4)=0得通解(}x_(1)x_(2)x_(3)x_(4))则(1)=()、(2)=()、(3)=()、(4)=()、(5)=()、(6)=()、(7)=()、(8)=()
6.填空题
注：用英文输入法输入答案
解方程组
$\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+3x_{4}=3\\2x_{1}+5x_{2}+2x_{3}+4x_{4}=4\\x_{1}+4x_{2}+5x_{3}-2x_{4}=0\end{cases}$
得通解$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{matrix}\right)=c\left(\begin{matrix}(1)\$2)\$3)\$4)\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}(5)\$6)\$7)\$8)\end{matrix}\right)$
则(1)=()、(2)=()、(3)=()、(4)=()、(5)=()、(6)=()、(7)=()、(8)=()
题目解答
答案
将方程组化为行最简形，得：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 3 & 11 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -4 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\]
通解为：
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{pmatrix}
=
c
\begin{pmatrix}
-3 \\
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
11 \\
-4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]
其中 $c$ 为自由变量。
答案：
\[
\boxed{
\begin{array}{cccccccc}
(1) & -3, & (2) & 0, & (3) & 1, & (4) & 1, \\
(5) & 11, & (6) & -4, & (7) & 1, & (8) & 0
\end{array}
}
\]
解析
本题考查线性方程组的求解，具体思路是先将方程组的增广矩阵化为行最简形，然后根据行最简形写出同解方程组，进而求出方程组的通解。
- 首先写出方程组的增广矩阵：
已知方程组$\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+3x_{4}=3\\2x_{1}+5x_{2}+2x_{3}+4x_{4}=4\\x_{1}+4x_{2}+5x_{3}-2x_{4}=0\end{cases}$，其增广矩阵为$\begin{pmatrix}1&2&0&3&3\\2&5&2&4&4\\1&4&5& - 2&0\end{pmatrix}$。 - 然后对增广矩阵进行初等行变换化为行最简形：
- 第二行减去第一行的$2$倍，第三行减去第一行，得到$\begin{pmatrix}1&2&0&3&3\\0&1&2& - 2& - 2\\0&2&5& - 5& - 3\end{pmatrix}$。
- 第一行减去第二行的$2$倍，第三行减去第二行的$2$倍，得到$\begin{pmatrix}1&0& - 4&7&7\\0&1&2& - 2& - 2\\0&0&1& - 1&1\end{pmatrix}$。
- 第一行加上第三行的$4$倍，第二行减去第三行的$2$倍，得到$\begin{pmatrix}1&0&0&3&11\\0&1&0&0& - 4\\0&0&1& - 1&1\end{pmatrix}$。
- 接着根据行最简形写出同解方程组：
由行最简形$\begin{pmatrix}1&0&0&3&11\\0&1&0&0& - 4\\0&0&1& - 1&1\end{pmatrix}$可得同解方程组$\begin{cases}x_{1}+3x_{4}=11\\x_{2}=-4\\x_{3}-x_{4}=1\end{cases}$。 - 再令$x_{4}=c$（$c$为自由变量），求解方程组：
- 由$x_{1}+3x_{4}=11$可得$x_{1}=11 - 3c$。
- 已知$x_{2}=-4$。
- 由$x_{3}-x_{4}=1$可得$x_{3}=1 + c$。
- 最后写出通解：
将$x_{1}=11 - 3c$，$x_{2}=-4$，$x_{3}=1 + c$，$x_{4}=c$写成向量形式$\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}=c\begin{pmatrix}-3\\0\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}11\\ - 4\\1\\0\end{pmatrix}$。