7.(单选题 10.0分)设随机变量X_(1),... X_(n)独立同分布，X_(1)的分布函数为F(x)，则Z=maxX_{1),... X_(n)}的分布函数为F_(Z)(z)=(F(z))^n.(判断10分)A. 错误B. 正确

本题考查随机变量函数的分布函数的求解，解题思路是根据最大值的定义以及随机变量的独立性，通过分布函数的定义来推导$Z = \max\{X_1, \cdots, X_n\}$的分布函数。

步骤一：明确分布函数的定义

随机变量$Z$的分布函数$F_Z(z)=P(Z\leq z)$，已知$Z = \max\{X_1, \cdots, X_n\}$，所以$F_Z(z)=P(\max\{X_1, \cdots, X_n\} \leq z)$。

步骤二：分析$\max\{X_1, \cdots, X_n\} \leq z$的等价条件

$\max\{X_1, \cdots, X_n\} \leq z$等价于$X_1\leq z$且$X_2\leq z$且$\cdots$且$X_n\leq z$，即$\max\{X_1, \cdots, X_n\} \leq z=\bigcap_{i = 1}^{n}\{X_i\leq z\}$。

步骤三：根据独立性计算概率

因为$X_1, \cdots, X_n$相互独立，根据独立事件的概率性质：若事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$相互独立，则$P(\bigcap_{i = 1}^{n}A_i)=\prod_{i = 1}^{n}P(A_i)$。
所以$P(\bigcap_{i = 1}^{n}\{X_i\leq z\})=\prod_{i = 1}^{n}P(X_i\leq z)$。

步骤四：结合分布函数的定义得出结果

已知$X_1$的分布函数为$F(x)$，且$X_1, \cdots, X_n$同分布，那么$P(X_i\leq z)=F(z)$，$i = 1,2,\cdots,n$。
所以$\prod_{i = 1}^{n}P(X_i\leq z)=\prod_{i = 1}^{n}F(z)=(F(z))^n$，即$F_Z(z)=(F(z))^n$。