设 A 是和 m times n 矩阵, C 是阶可逆矩阵, 矩阵的秩为 r, 则矩阵 B = AC 的秩().A. 小于 rB. 大于 rC. 等于 rD. 与 C 有关.

本题考查矩阵秩的性质以及可逆矩阵的相关知识。解题的关键思路是利用可逆矩阵可以表示为一系列初等矩阵的乘积这一性质，再结合初等变换不改变矩阵的秩这一重要结论来求解矩阵$B = AC$的秩。

详细解析

• 步骤一：明确可逆矩阵与初等矩阵的关系
  根据矩阵理论，任何可逆矩阵都可以表示为一系列初等矩阵的乘积。已知$C$是可逆矩阵，所以存在初等矩阵$P_1,P_2,\cdots,P_s$，使得$C = P_1P_2\cdots P_s$。
• 步骤二：将$B = AC$进行转化
  把$C = P_1P_2\cdots P_s$代入$B = AC$中，可得$B = A(P_1P_2\cdots P_s)=(AP_1)P_2\cdots P_s$。
• 步骤三：分析初等矩阵与矩阵乘法的关系
  根据初等矩阵的性质，用一个初等矩阵左乘一个矩阵，相当于对该矩阵进行一次初等行变换。那么$AP_1$就是对矩阵$A$进行了一次初等行变换，$(AP_1)P_2$就是对$AP_1$（也就是对$A$进行一次初等行变换后的矩阵）再进行一次初等行变换，以此类推，$B = (AP_1)P_2\cdots P_s$相当于对矩阵$A$进行了$s$次初等行变换。
• 步骤四：利用初等变换不改变矩阵秩的性质
  因为初等变换不改变矩阵的秩，所以对矩阵$A$进行一系列初等行变换后得到的矩阵$B$的秩与矩阵$A$的秩相等。已知矩阵$A$的秩为$r$，所以矩阵$B$的秩也为$r$。