[例题1]在图示无限网络中,每个电阻的阻值均为R,-|||-试求A、B两点间的电阻RAB.-|||-A-|||-......-|||-B-|||------

考查要点：本题主要考查无限电阻网络的等效电阻计算，需要利用自相似性和等效替代法建立方程。

解题核心思路：

1. 识别自相似结构：无限网络中隐藏着与原结构相同的子网络，可将整体等效为一个基本单元。
2. 变量代换：设A、B间总电阻为$x$，通过串联和并联关系建立方程。
3. 解二次方程：通过代数运算求解$x$，并验证解的合理性。

破题关键点：

• 正确拆分网络：将无限网络分解为一个已知电阻$R$与剩余子网络的组合。
• 并联关系的处理：剩余子网络可视为$x$与$R$的并联。

步骤1：设定变量

设A、B两点间的总电阻为$x$。

步骤2：拆分网络

从A点出发，第一个电阻为$R$，之后的网络可视为$x$与$R$的并联（如图）。因此，总电阻可表示为：
$x = R + \frac{x \cdot R}{x + R}$

步骤3：建立方程

将方程整理为：
$x = R + \frac{R x}{x + R}$

步骤4：消分母并化简

两边同乘$(x + R)$：
$x(x + R) = R(x + R) + R x$
展开并整理：
$x^2 + R x = 2 R x + R^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 - R x - R^2 = 0$

步骤5：求解二次方程

利用求根公式：
$x = \frac{R \pm \sqrt{R^2 + 4 R^2}}{2} = \frac{R (1 \pm \sqrt{5})}{2}$
因电阻为正，取正根：
$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} R$