题目

设总体 X 服从正态分布 N(72, 100)，为使样本均值大于 70 的概率不少于 90%，其样本容量至少应取()。(u_(0.9) approx 1.28)A. 46B. 44C. 48D. 42

设总体 $X$ 服从正态分布 $N(72, 100)$，为使样本均值大于 70 的概率不少于 90%，其样本容量至少应取()。($u_{0.9} \approx 1.28$)

A. 46

B. 44

C. 48

D. 42

题目解答

答案

D. 42

解析

本题考查正态分布以及样本均值的分布，解题的关键在于利用正态分布的性质将样本均值的概率问题转化为标准正态分布的概率问题，进而求解样本容量。

  1. 首先明确总体$X$服从正态分布$N(72, 100)$，设样本容量为$n$，根据样本均值的性质可知样本均值$\overline{X}$服从正态分布$N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，其中$\mu = 72$，$\sigma^{2}=100$，所以$\overline{X}\sim N(72,\frac{100}{n})$。
  2. 然后对$\overline{X}$进行标准化处理，令$Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，这里$\mu = 72$，$\sigma = 10$，则$Z=\frac{\overline{X}-72}{\frac{10}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$。
  3. 题目要求$P(\overline{X}>70)\geqslant 0.9$，对不等式进行变形：
    • $P(\overline{X}>70)=1 - P(\overline{X}\leqslant 70)$。
    • 对$P(\overline{X}\leqslant 70)$进行标准化，$P(\overline{X}\leqslant 70)=P(\frac{\overline{X}-72}{\frac{10}{\sqrt{n}}}\leqslant\frac{70 - 72}{\frac{10}{\sqrt{n}}})=P(Z\leqslant\frac{-2\sqrt{n}}{10})$。
    • 所以$1 - P(Z\leqslant\frac{-2\sqrt{n}}{10})\geqslant 0.9$，移项可得$P(Z\leqslant\frac{-2\sqrt{n}}{10})\leqslant 0.1$。
    • 由于标准正态分布的对称性，$P(Z\leqslant\frac{-2\sqrt{n}}{10}) = 1 - P(Z\leqslant\frac{2\sqrt{n}}{10})$，则$1 - P(Z\leqslant\frac{2\sqrt{n}}{10})\leqslant 0.1$，进一步得到$P(Z\leqslant\frac{2\sqrt{n}}{10})\geqslant 0.9$。
  4. 已知$u_{0.9}\approx 1.28$，即$P(Z\leqslant u_{0.9}) = 0.9$，所以$\frac{2\sqrt{n}}{10}\geqslant u_{0.9}\approx 1.28$。
  5. 解不等式$\frac{2\sqrt{n}}{10}\geqslant 1.28$：
    • 两边同时乘以$10$得到$2\sqrt{n}\geqslant 12.8$。
    • 两边再同时除以$2$得到$\sqrt{n}\geqslant 6.4$。
    • 两边平方可得$n\geqslant 6.4^{2}=40.96$。
    • 因为$n$为样本容量，必须为正整数，所以$n$至少取$42$。