题目

五次平行实验的结果如下：28.00%，28.39%，28.42%，28.47%，28.48%。用Q值检验法对28.00%决定取舍，并求测定结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差和变异系数。已知P=0.90，n=5时，Q_(表)=0.64。通过计算得到Q_(计)= ____ ，由于Q_(计)_____ Q_(表)（填>、<或=），28.00% ____ （填“保留”、“舍弃”或“无法判定”）。计算得平均值= ____ ，平均偏差= ____ ，相对平均偏差= ____ ，标准偏差= ____ ，变异系数= ____。

五次平行实验的结果如下：$28.00\%$，$28.39\%$，$28.42\%$，$28.47\%$，$28.48\%$。用Q值检验法对$28.00\%$决定取舍，并求测定结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差和变异系数。已知$P=0.90$，$n=5$时，$Q_{表}=0.64$。通过计算得到$Q_{计}=$ ____ ，由于$Q_{计}$_____ $Q_{表}$（填$>$、$<$或$=$），$28.00\%$ ____ （填“保留”、“舍弃”或“无法判定”）。计算得平均值= ____ ，平均偏差= ____ ，相对平均偏差= ____ ，标准偏差= ____ ，变异系数= ____。

题目解答

答案

根据Q值检验法，$ Q_{\text{计}} = \frac{0.39}{0.48} = 0.8125 > Q_{\text{表}} = 0.64 $，故应舍弃28.00%。 保留数据为：28.39%、28.42%、28.47%、28.48%。 平均值：$ \bar{x} = \frac{113.76}{4} = 28.44\% $。 平均偏差：$ d = \frac{0.14}{4} = 0.035\% $。 相对平均偏差：$ \delta = \frac{0.035}{28.44} \times 100\% \approx 0.123\% $。 标准偏差：$ s = \sqrt{\frac{0.0054}{3}} \approx 0.0424\% $。 变异系数：$ CV = \frac{0.0424}{28.44} \times 100\% \approx 0.149\% $。 答案： $ Q_{\text{计}} = 0.8125 $，$ Q_{\text{计}} > Q_{\text{表}} $，应舍弃28.00%。 平均值 = 28.44%，平均偏差 = 0.035%，相对平均偏差 ≈ 0.123%，标准偏差 ≈ 0.0424%，变异系数 ≈ 0.149%。

解析

本题主要考查Q值检验法判断可疑值的取舍以及测定结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差和变异系数的计算。解题思路如下：

  1. Q值检验法判断可疑值取舍：
    • 首先找出可疑值，本题中$28.00\%$与其他数据相差较大，为可疑值。
    • 然后根据Q值检验法公式$Q_{计}=\frac{\vert x_{可疑}-x_{相邻}\vert}{x_{max}-x_{min}}$计算$Q_{计}$，其中$x_{可疑}$为可疑值，$x_{相邻}$为与可疑值相邻的值，$x_{max}$为最大值，$x_{min}$为最小值。
    • 最后将$Q_{计}$与给定的$Q_{表}$比较，若$Q_{计}\gt{}Q_{表}$，则舍弃可疑值；若$Q_{计}\lt{}Q_{表}$，则保留可疑值。
  2. 计算各项统计量：
    • 平均值：若舍弃可疑值，用剩余数据计算平均值$\bar{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$，其中$x_{i}$为各测量值，$n$为数据个数。
    • 平均偏差：先计算各测量值与平均值的偏差$d_{i}=\vert x_{i}-\bar{x}\vert$，再求平均偏差$d=\frac{\sum_{i = 1}^{n}d_{i}}{n}$。
    • 相对平均偏差：根据公式$\delta=\frac{d}{\bar{x}}\times100\%$计算。
    • 标准偏差：根据公式$s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n - 1}}$计算。
    • 变异系数：根据公式$CV=\frac{s}{\bar{x}}\times100\%$计算。

具体计算过程

  1. Q值检验法判断可疑值取舍：
    • 已知$x_{可疑}=28.00\%$，$x_{相邻}=28.39\%$，$x_{max}=28.48\%$，$x_{min}=28.00\%$。
    • 代入Q值检验法公式可得：
      $Q_{计}=\frac{\vert 28.00 - 28.39\vert}{28.48 - 28.00}=\frac{0.39}{0.48}=0.8125$
    • 已知$Q_{表}=0.64$，因为$Q_{计}=0.8125\gt{}Q_{表}=0.64$，所以$28.00\%$应舍弃。
  2. 计算各项统计量：
    • 平均值：舍弃$28.00\%$后，剩余数据为$28.39\%$、$28.42\%$、$28.47\%$、$28.48\%$，$n = 4$。
      $\bar{x}=\frac{28.39 + 28.42 + 28.47 + 28.48}{4}=\frac{113.76}{4}=28.44\%$
    • 平均偏差：
      各测量值与平均值的偏差分别为：
      $d_{1}=\vert 28.39 - 28.44\vert = 0.05\%$
      $d_{2}=\vert 28.42 - 28.44\vert = 0.02\%$
      $d_{3}=\vert 28.47 - 28.44\vert = 0.03\%$
      $d_{4}=\vert 28.48 - 28.44\vert = 0.04\%$
      平均偏差$d=\frac{0.05 + 0.02 + 0.03 + 0.04}{4}=\frac{0.14}{4}=0.035\%$
    • 相对平均偏差：
      $\delta=\frac{0.035}{28.44}\times100\%\approx0.123\%$
    • 标准偏差：
      $\sum_{i = 1}^{4}(x_{i}-\bar{x})^{2}=(28.39 - 28.44)^{2}+(28.42 - 28.44)^{2}+(28.47 - 28.44)^{2}+(28.48 - 28.44)^{2}$
      $=(-0.05)^{2}+(-0.02)^{2}+0.03^{2}+0.04^{2}=0.0025 + 0.0004 + 0.0009 + 0.0016 = 0.0054$
      标准偏差$s = \sqrt{\frac{0.0054}{4 - 1}}=\sqrt{\frac{0.0054}{3}}\approx0.0424\%$
    • 变异系数：
      $CV=\frac{0.0424}{28.44}\times100\%\approx0.149\%$