随机变量X,Y相互独立同分布,则X+Y和X-Y()A. 不独立.B. 独立.C. 不相关.D. 相关.

考查要点：本题主要考查随机变量的独立性、相关性以及协方差的计算。
解题核心思路：

1. 协方差计算：通过计算 $X+Y$ 和 $X-Y$ 的协方差，判断两者是否相关。
2. 独立性与相关性的关系：明确“独立则一定不相关，但不相关不一定独立”的结论。
   破题关键点：

• 利用协方差公式展开，结合 $X$ 和 $Y$ 独立同分布的性质简化计算。
• 同分布的方差相等，从而得出协方差为零，说明不相关。
• 独立性的判定需额外条件（如正态分布），题目未给出时不能直接推断独立。

步骤1：计算协方差
协方差定义为：
$\text{Cov}(A, B) = E[(A - E[A])(B - E[B])]$
令 $A = X+Y$，$B = X-Y$，则：
$\begin{aligned}\text{Cov}(X+Y, X-Y) &= E[(X+Y - E[X+Y])(X-Y - E[X-Y])] \\&= E[(X+Y - 2\mu)(X-Y)] \quad (\text{因 } X,Y \text{同分布，均值为 } \mu)\end{aligned}$

步骤2：展开并简化
展开括号后：
$\begin{aligned}E[(X+Y)(X-Y) - 2\mu(X-Y)] &= E[X^2 - Y^2 - 2\mu X + 2\mu Y] \\&= E[X^2] - E[Y^2] - 2\mu E[X] + 2\mu E[Y]\end{aligned}$
由于 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，$E[X] = E[Y] = \mu$，且 $E[X^2] = E[Y^2]$，代入得：
$E[X^2] - E[X^2] - 2\mu^2 + 2\mu^2 = 0$
因此，$\text{Cov}(X+Y, X-Y) = 0$，说明 $X+Y$ 和 $X-Y$ 不相关。

步骤3：判断独立性
虽然不相关，但独立性需额外条件（如正态分布）。题目未说明分布类型，因此不能确定独立。故选 C。