题目
§8.3 单个正态总体参数的显著性检验习题1某工厂生产的零件长度服从正态分布N(μ，0.04)。现从一批零件中随机抽取16个，测得平均长度为10.2cm。在显著性水平a=0.05下，检验该批零件的平均长度是否为10cm?
§8.3 单个正态总体参数的显著性检验
习题1
某工厂生产的零件长度服从正态分布N(μ，0.04)。现从一批零件中随机抽取16个，测得平均长度为10.2cm。在显著性水平a=0.05下，检验该批零件的平均长度是否为10cm?
题目解答
答案
为了检验该批零件的平均长度是否为10cm，我们需要进行一个单样本Z检验，因为总体标准差已知。以下是解题过程：
1. **建立假设：**
- 零假设 $ H_0 $：$ \mu = 10 $
- 备择假设 $ H_1 $：$ \mu \neq 10 $
2. **确定显著性水平：**
- $ \alpha = 0.05 $
3. **计算检验统计量：**
检验统计量 $ Z $ 的公式为：
\[
Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
\]
其中，$ \bar{X} = 10.2 $ 是样本均值，$ \mu_0 = 10 $ 是 hypothesized 总体均值，$ \sigma = \sqrt{0.04} = 0.2 $ 是总体标准差，$ n = 16 $ 是样本大小。代入这些值，我们得到：
\[
Z = \frac{10.2 - 10}{0.2 / \sqrt{16}} = \frac{0.2}{0.2 / 4} = \frac{0.2}{0.05} = 4
\]
4. **确定临界值：**
由于这是双侧检验，我们需要找到 $ Z_{\alpha/2} $ 的值。对于 $ \alpha = 0.05 $，$ \alpha/2 = 0.025 $。从标准正态分布表中，我们找到 $ Z_{0.025} = 1.96 $。因此，临界值为 $ \pm 1.96 $。
5. **做出决策：**
将计算出的 $ Z $ 值与临界值进行比较。由于 $ Z = 4 $ 大于 $ 1.96 $，我们拒绝零假设。
6. **结论：**
在显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 下，我们有充分证据拒绝零假设。因此，该批零件的平均长度不是10cm。
最终答案是：
\[
\boxed{\text{拒绝 } H_0}
\]
解析
步骤 1：建立假设
- 零假设 $ H_0 $：$ \mu = 10 $，即该批零件的平均长度为10cm。
- 备择假设 $ H_1 $：$ \mu \neq 10 $，即该批零件的平均长度不为10cm。
步骤 2：确定显著性水平
- 显著性水平 $ \alpha = 0.05 $。
步骤 3：计算检验统计量
- 检验统计量 $ Z $ 的公式为：\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \]
- 其中，$ \bar{X} = 10.2 $ 是样本均值，$ \mu_0 = 10 $ 是假设的总体均值，$ \sigma = \sqrt{0.04} = 0.2 $ 是总体标准差，$ n = 16 $ 是样本大小。
- 代入这些值，我们得到：\[ Z = \frac{10.2 - 10}{0.2 / \sqrt{16}} = \frac{0.2}{0.2 / 4} = \frac{0.2}{0.05} = 4 \]
步骤 4：确定临界值
- 由于这是双侧检验，我们需要找到 $ Z_{\alpha/2} $ 的值。对于 $ \alpha = 0.05 $，$ \alpha/2 = 0.025 $。
- 从标准正态分布表中，我们找到 $ Z_{0.025} = 1.96 $。
- 因此，临界值为 $ \pm 1.96 $。
步骤 5：做出决策
- 将计算出的 $ Z $ 值与临界值进行比较。由于 $ Z = 4 $ 大于 $ 1.96 $，我们拒绝零假设。
步骤 6：结论
- 在显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 下，我们有充分证据拒绝零假设。因此，该批零件的平均长度不是10cm。
- 零假设 $ H_0 $：$ \mu = 10 $，即该批零件的平均长度为10cm。
- 备择假设 $ H_1 $：$ \mu \neq 10 $，即该批零件的平均长度不为10cm。
步骤 2：确定显著性水平
- 显著性水平 $ \alpha = 0.05 $。
步骤 3：计算检验统计量
- 检验统计量 $ Z $ 的公式为：\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \]
- 其中，$ \bar{X} = 10.2 $ 是样本均值，$ \mu_0 = 10 $ 是假设的总体均值，$ \sigma = \sqrt{0.04} = 0.2 $ 是总体标准差，$ n = 16 $ 是样本大小。
- 代入这些值，我们得到：\[ Z = \frac{10.2 - 10}{0.2 / \sqrt{16}} = \frac{0.2}{0.2 / 4} = \frac{0.2}{0.05} = 4 \]
步骤 4：确定临界值
- 由于这是双侧检验，我们需要找到 $ Z_{\alpha/2} $ 的值。对于 $ \alpha = 0.05 $，$ \alpha/2 = 0.025 $。
- 从标准正态分布表中，我们找到 $ Z_{0.025} = 1.96 $。
- 因此，临界值为 $ \pm 1.96 $。
步骤 5：做出决策
- 将计算出的 $ Z $ 值与临界值进行比较。由于 $ Z = 4 $ 大于 $ 1.96 $，我们拒绝零假设。
步骤 6：结论
- 在显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 下，我们有充分证据拒绝零假设。因此，该批零件的平均长度不是10cm。