设向量组 mathscr(A) = alpha_1, alpha_2, ..., alpha_s 和 mathscr(B) = beta_1, beta_2, ..., beta_t 是向量空间 V 中的向量组，且 R(mathscr(A)) = s，R(mathscr(B)) = t。若 s A. 向量组 mathscr(A) 一定不能由向量组 mathscr(B) 线性表示B. 向量组 mathscr(B) 一定不能由向量组 mathscr(A) 线性表示C. 向量组 mathscr(A) 和 mathscr(B) 一定等价D. 向量组 mathscr(A) 和 mathscr(B) 的线性组合构成的集合一定不同

本题考查向量组的线性表示、等价以及向量组秩的相关知识。解题的关键在于理解向量组的秩与线性表示之间的关系，通过反证法来判断各个选项的正确性。

选项A分析

向量组$\mathscr{A}$能否由向量组$\mathscr{B}$线性表示，取决于向量组$\mathscr{A}$中的每个向量是否都能写成向量组$\mathscr{B}$中向量的线性组合。仅根据$s \lt t$和$R(\mathscr{A}) = s$，$R(\mathscr{B}) = t$，不能得出向量组$\mathscr{A}$一定不能由向量组$\mathscr{B}$线性表示的结论。例如，在三维向量空间中，$\mathscr{A}=\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\}$，$s = 1$，$R(\mathscr{A}) = 1$；$\mathscr{B}=\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\}$，$t = 3$，$R(\mathscr{B}) = 3$，此时向量组$\mathscr{A}$可以由向量组$\mathscr{B}$线性表示，所以选项A错误。

选项B分析

采用反证法。假设向量组$\mathscr{B}$能由向量组$\mathscr{A}$线性表示。
根据向量组线性表示与秩的关系：若向量组$\mathscr{B}$能由向量组$\mathscr{A}$线性表示，则$R(\mathscr{B})\leq R(\mathscr{A})$。
已知$R(\mathscr{A}) = s$，$R(\mathscr{B}) = t$，且$s \lt t$，这与$R(\mathscr{B})\leq R(\mathscr{A})$矛盾。
所以假设不成立，即向量组$\mathscr{B}$一定不能由向量组$\mathscr{A}$线性表示，选项B正确。

选项C分析

向量组$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$等价的充要条件是$R(\mathscr{A}) = R(\mathscr{B}) = R(\mathscr{A},\mathscr{B})$。
仅由$s \lt t$和$R(\mathscr{A}) = s$，$R(\mathscr{B}) = t$，无法得出$R(\mathscr{A}) = R(\mathscr{B}) = R(\mathscr{A},\mathscr{B})$，所以不能确定向量组$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$一定等价，选项C错误。

选项D分析

向量组$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$的线性组合构成的集合分别为$L(\mathscr{A})$和$L(\mathscr{B})$。
虽然$s \lt t$，但不能直接得出$L(\mathscr{A})$和$L(\mathscr{B})$一定不同。例如，在三维向量空间中，$\mathscr{A}=\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\}$，$s = 1$，$R(\mathscr{A}) = 1$；$\mathscr{B}=\{\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\}$，$t = 1$，$R(\mathscr{B}) = 1$，此时$L(\mathscr{A}) = L(\mathscr{B})$，所以选项D错误。