题目
11.设总体Xsim x^2(n)，X_(1),X_(2),... X_(20)是X来自总体的一个样本，则D(overline(X))=（） A.n B.2n C.n/10 D.n/5
11.设总体$X\sim x^{2}(n)$，$X_{1},X_{2},\cdots X_{20}$是X来自总体的一个样本，则$D(\overline{X})$=（）
A.n
B.2n
C.n/10
D.n/5
A.n
B.2n
C.n/10
D.n/5
题目解答
答案
已知总体 $X \sim \chi^2(n)$，则 $D(X) = 2n$。样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} X_i$，其方差为：
\[
D(\overline{X}) = \left( \frac{1}{20} \right)^2 \sum_{i=1}^{20} D(X_i) = \frac{1}{400} \times 20 \times 2n = \frac{n}{10}
\]
因此，答案为 $\boxed{C}$。
解析
考查要点：本题主要考查卡方分布的方差性质以及样本均值方差的计算方法。
解题核心思路：
- 卡方分布的方差：若总体 $X \sim \chi^2(n)$，则其方差为 $D(X) = 2n$。
- 样本均值的方差：对于独立同分布的样本，样本均值 $\overline{X}$ 的方差为总体方差除以样本容量，即 $D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n}$（此处 $n$ 为样本容量）。
破题关键点：
- 明确卡方分布的方差公式。
- 正确应用样本均值方差的公式，注意区分卡方分布的自由度 $n$ 和样本容量 $20$。
-
确定总体方差
已知总体 $X \sim \chi^2(n)$，根据卡方分布的性质，其方差为：
$D(X) = 2n$ -
计算样本均值的方差
样本均值 $\overline{X}$ 的计算公式为：
$\overline{X} = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} X_i$
根据方差性质，独立同分布样本均值的方差为：
$D(\overline{X}) = \left( \frac{1}{20} \right)^2 \sum_{i=1}^{20} D(X_i)$
由于每个 $X_i$ 的方差均为 $2n$，且样本容量为 $20$，代入得：
$D(\overline{X}) = \frac{1}{400} \times 20 \times 2n = \frac{n}{10}$