7、微分方程 y'' - 3y' + 2y = 0 的通解为_____.

考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次线性微分方程的解法，核心是特征方程法的应用。

解题思路：

1. 构造特征方程：将微分方程中的微分项替换为对应的幂次，得到代数方程。
2. 求解特征根：解特征方程得到根的类型（实根、复根、重根）。
3. 根据根的形式写出通解：根据不同的根类型，组合对应的解形式。

破题关键：正确写出特征方程并准确求解根，是确定通解形式的基础。

步骤1：构造特征方程
将微分方程 $y'' - 3y' + 2y = 0$ 中的 $y''$、$y'$、$y$ 分别替换为 $r^2$、$r$、$1$，得到特征方程：
$r^2 - 3r + 2 = 0$

步骤2：求解特征方程
因式分解方程：
$r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2) = 0$
解得两个实根：
$r_1 = 1, \quad r_2 = 2$

步骤3：确定通解形式
由于特征方程有两个不相等的实根，通解为对应指数函数的线性组合：
$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$
其中 $C_1$、$C_2$ 为任意常数。