n阶反对称矩阵A是不可逆矩阵.A. 对B. 错

本题考查反对称矩阵和不可逆矩阵的相关知识。解题的关键在于明确反对称矩阵的定义以及不可逆矩阵的判定条件，通过对反对称矩阵行列式性质的分析来判断该命题的真假。

1. 首先明确反对称矩阵的定义：
   • 若$n$阶矩阵$A$满足$A^T=-A$，则称$A$为反对称矩阵。
2. 然后根据矩阵行列式的性质：
   • 对于任意$n$阶矩阵$A$，有$\vert A^T\vert=\vert A\vert$。
   • 因为$A$是反对称矩阵，即$A^T = -A$，所以$\vert A^T\vert=\vert -A\vert$。
   • 根据行列式的性质$\vert kA\vert=k^n\vert A\vert$（$k$为常数，$n$为矩阵$A$的阶数），对于$\vert -A\vert$，这里$k = - 1$，则$\vert -A\vert=(-1)^n\vert A\vert$。
   • 又因为$\vert A^T\vert=\vert A\vert$，所以$\vert A\vert=(-1)^n\vert A\vert$。
3. 接着分情况讨论：
   • 当$n$为奇数时：
     • 由$\vert A\vert=(-1)^n\vert A\vert$，因为$n$为奇数，$(-1)^n=-1$，则$\vert A\vert=-\vert A\vert$。
     • 移项可得$\vert A\vert+\vert A\vert = 0$，即$2\vert A\vert = 0$，所以$\vert A\vert = 0$。
     • 根据不可逆矩阵的判定条件：若$n$阶矩阵$A$的行列式$\vert A\vert = 0$，则$A$不可逆。所以当$n$为奇数时，$n$阶反对称矩阵$A$是不可逆矩阵。
   • 当$n$为偶数时：
     • 由$\vert A\vert=(-1)^n\vert A\vert$，因为$n$为偶数，$(-1)^n = 1$，则$\vert A\vert=\vert A\vert$，这是恒成立的，此时$\vert A\vert$不一定为$0$。
     • 例如二阶反对称矩阵$A=\begin{pmatrix}0&1\\ - 1&0\end{pmatrix}$，计算其行列式$\vert A\vert=0\times0-1\times(-1)=1\neq0$，根据可逆矩阵的判定条件：若$n$阶矩阵$A$的行列式$\vert A\vert\neq0$，则$A$可逆。所以当$n$为偶数时，$n$阶反对称矩阵$A$可能是可逆矩阵。