判断题（共4题，40.0分）9. (10.0分) 设平面区域D=((X,Y)|a≤x≤b,c≤y≤d),二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则X与Y独立.A 对B 错

本题考查二维均匀分布以及随机变量独立性的判断。解题思路是先根据二维均匀分布的定义求出联合概率密度函数，再分别计算出随机变量 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度函数，最后判断联合概率密度函数是否等于两个边缘概率密度函数的乘积，若相等则 $X$ 与 $Y$ 独立，反之则不独立。

1. 求联合概率密度函数 $f(x,y)$：
   已知平面区域 $D = \{ (x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \}$，二维随机变量 $(X, Y)$ 在 $D$ 上服从均匀分布。根据二维均匀分布的定义，其联合概率密度函数为：
   $f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{S_D} & \text{若 } (x, y) \in D \\ 0 & \text{否则} \end{cases}$
   其中 $S_D$ 是区域 $D$ 的面积，$S_D=(b - a)(d - c)$，所以联合概率密度函数为：
   $f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{(b-a)(d-c)} & \text{若 } (x, y) \in D \\ 0 & \text{否则} \end{cases}$
2. 求 $X$ 的边缘概率密度函数 $f_X(x)$：
   根据边缘概率密度函数的定义，$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$。
   当 $a\leq x\leq b$ 时，$f_X(x)=\int_{c}^{d} \frac{1}{(b - a)(d - c)} dy$，计算积分：
   $\begin{align*}f_X(x)&=\frac{1}{(b - a)(d - c)}\int_{c}^{d} dy\\&=\frac{1}{(b - a)(d - c)}\cdot [y]_{c}^{d}\\&=\frac{1}{(b - a)(d - c)}\cdot (d - c)\\&=\frac{1}{b - a}\end{align*}$
   当 $x\lt a$ 或 $x\gt b$ 时，$f(x,y)=0$，所以 $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}0dy = 0$。
   综上，$X$ 的边缘密度函数为 $f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$。
3. 求 $Y$ 的边缘概率密度函数 $f_Y(y)$：
   同理，$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$。
   当 $c\leq y\leq d$ 时，$f_Y(y)=\int_{a}^{b} \frac{1}{(b - a)(d - c)} dx$，计算积分：
   $\begin{align*}f_Y(y)&=\frac{1}{(b - a)(d - c)}\int_{a}^{b} dx\\&=\frac{1}{(b - a)(d - c)}\cdot [x]_{a}^{b}\\&=\frac{1}{(b - a)(d - c)}\cdot (b - a)\\&=\frac{1}{d - c}\end{align*}$
   当 $y\lt c$ 或 $y\gt d$ 时，$f(x,y)=0$，所以 $f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}0dx = 0$。
   综上，$Y$ 的边缘密度函数为 $f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{d - c} & c \leq y \leq d \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$。
4. 判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立：
   对于区域 $D$ 内的点 $(x,y)$，$f(x,y)=\frac{1}{(b - a)(d - c)}$，$f_X(x)\cdot f_Y(y)=\frac{1}{b - a}\cdot\frac{1}{d - c}=\frac{1}{(b - a)(d - c)}$，即 $f(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$ 对所有 $(x, y) \in D$ 成立，所以 $X$ 与 $Y$ 独立。