设 X_1, X_2, ldots, X_n 为来自总体 X 的一个样本，bar(X) 为样本均值，E(X) 未知，则总体方差 D(X) 的无偏估计量为()。A. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - bar(X))^2B. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - bar(X))^2C. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - E(X))^2D. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - E(X))^2

本题考查总体方差无偏估计量的知识点。解题的关键在于理解无偏估计量的定义，即估计量的数学期望等于被估计的总体参数。我们需要分别分析每个选项所代表的估计量的数学期望是否等于总体方差 $D(X)$。

选项A

设 $S_{n}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$，我们来求 $E(S_{n}^{2})$：

• 首先，将 $(X_{i}-\overline{X})$ 变形为 $(X_{i}-E(X)+E(X)-\overline{X})$，则 $(X_{i}-\overline{X})^{2}=[(X_{i}-E(X))-( \overline{X}-E(X))]^{2}=(X_{i}-E(X))^{2}-2(X_{i}-E(X))(\overline{X}-E(X))+(\overline{X}-E(X))^{2}$。
• 那么 $\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}=\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-E(X))^{2}-2(\overline{X}-E(X))\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-E(X))+n(\overline{X}-E(X))^{2}$。
• 由于 $\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-E(X))=n(\overline{X}-E(X))$，所以 $\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}=\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-E(X))^{2}-n(\overline{X}-E(X))^{2}$。
• 对其取期望 $E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-E(X))^{2}\right]-nE\left[(\overline{X}-E(X))^{2}\right]$。
• 因为 $E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-E(X))^{2}\right]=\sum_{i = 1}^{n}E\left[(X_{i}-E(X))^{2}\right]=nD(X)$，且 $E\left[(\overline{X}-E(X))^{2}\right]=D(\overline{X})$，又因为 $D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}$。
• 所以 $E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=nD(X)-n\times\frac{D(X)}{n}=(n - 1)D(X)$。
• 则 $E(S_{n}^{2})=E\left[\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=\frac{1}{n}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=\frac{n - 1}{n}D(X)\neq D(X)$，所以选项A不是 $D(X)$ 的无偏估计量。

选项B

设 $S^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$，由上面计算可知 $E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=(n - 1)D(X)$。

• 那么 $E(S^{2})=E\left[\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=\frac{1}{n - 1}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\right]=\frac{1}{n - 1}\times(n - 1)D(X)=D(X)$，所以选项B是 $D(X)$ 的无偏估计量。

选项C

设 $T_{1}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-E(X))^{2}$，则 $E(T_{1})=E\left[\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-E(X))^{2}\right]=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E\left[(X_{i}-E(X))^{2}\right]$。

• 因为 $E\left[(X_{i}-E(X))^{2}\right]=D(X)$，所以 $E(T_{1})=\frac{1}{n}\times nD(X)=D(X)$，但题目中 $E(X)$ 未知，所以该估计量不可行，选项C不符合要求。

选项D

设 $T_{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-E(X))^{2}$，则 $E(T_{2})=E\left[\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-E(X))^{2}\right]=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}E\left[(X_{i}-E(X))^{2}\right]$。

• 因为 $E\left[(X_{i}-E(X))^{2}\right]=D(X)$，所以 $E(T_{2})=\frac{1}{n - 1}\times nD(X)=\frac{n}{n - 1}D(X)\neq D(X)$，且 $E(X)$ 未知，该估计量不可行，选项D不符合要求。