设总体X～N(2，42)，(x1，x2，…，Xn)是来自X的简单随机样本，则下面结果正确的是( )。 A. dfrac (x-2)(4)-N(0,1) B. dfrac (x-2)(16)approx N(0,1)-|||-C. dfrac (X-2)(2)approx N(0,1) D. dfrac (x-2)(4sqrt {n)}approx N(0,1)A． B． C． D．

考查要点：本题主要考查正态分布总体下样本均值的分布及标准化处理方法。

解题核心思路：

1. 样本均值的分布：若总体服从正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则样本均值$\overline{X}$的分布为$N\left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$。
2. 标准化形式：将样本均值标准化后，$\dfrac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$。
   关键点：正确识别标准化公式中的分母应为$\sigma / \sqrt{n}$，而非$\sigma$或$\sigma^2$。

已知总体$X \sim N(2, 4^2)$，即$\mu = 2$，$\sigma = 4$。样本均值$\overline{X}$的分布为：
$\overline{X} \sim N\left(2, \dfrac{4^2}{n}\right).$
标准化后应满足：
$\dfrac{\overline{X} - 2}{4 / \sqrt{n}} \sim N(0,1).$

选项分析：

• A：分母为$\sigma = 4$，缺少$\sqrt{n}$，错误。
• B：分母为$\sigma^2 = 16$，混淆方差与标准差，错误。
• C：分母为$2$，与$\sigma / \sqrt{n}$无关，错误。
• D：分母为$\sigma / \sqrt{n} = 4 / \sqrt{n}$，符合标准化形式，正确。