题目
2.设总体X服从几何分布，即有分布律P(X=k)=p(1-p)^k-1(k=1,2,...)，其中p(0<1)未知，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的样本，求p的矩估计量。
2.设总体X服从几何分布，即有分布律$P(X=k)=p(1-p)^{k-1}(k=1,2,\cdots)$，其中p(0
<1)未知，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的样本，求p的矩估计量。
题目解答
答案
几何分布的期望值为 $ E(X) = \frac{1}{p} $。在矩估计法中，将总体期望等于样本均值 $ \overline{X} $，即：
\[ \frac{1}{p} = \overline{X} \]
解得 $ p $ 的矩估计量为：
\[ \hat{p} = \frac{1}{\overline{X}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i} \]
**答案：**
\[ \boxed{\frac{1}{\overline{X}}} \]
解析
矩估计法的核心思路是利用样本矩来估计总体矩。对于几何分布，其一阶原点矩（期望）为 $E(X) = \frac{1}{p}$。通过将总体期望与样本均值 $\overline{X}$ 等同，建立方程求解 $p$ 的估计值。
-
几何分布的期望
几何分布的期望公式为：
$E(X) = \frac{1}{p}$ -
矩估计方程
根据矩估计法，令总体期望等于样本均值 $\overline{X}$：
$\frac{1}{p} = \overline{X}$ -
解方程求 $p$
将方程变形得：
$p = \frac{1}{\overline{X}}$
其中，样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，因此：
$\hat{p} = \frac{1}{\overline{X}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i}$