题目

设总体 X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, X_3 是来自总体的一个样本，则 mu 的无偏估计是（） A. (1)/(2)(X_1 + X_2 + X_3)B. (1)/(2)X_1 + (1)/(3)X_2 + (1)/(4)X_3C. (1)/(2)X_1 + (1)/(3)X_2 + (1)/(8)X_3D. (1)/(2)X_1 + (1)/(3)X_2 + (1)/(6)X_3

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, X_2, X_3$ 是来自总体的一个样本，则 $\mu$ 的无偏估计是（）

A. $\frac{1}{2}(X_1 + X_2 + X_3)$
B. $\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{4}X_3$
C. $\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{8}X_3$
D. $\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{6}X_3$

题目解答

答案

为了确定$\mu$的无偏估计，我们需要检查每个选项的期望值是否等于$\mu$。设$\mu$的估计量为$\hat{\mu}$。如果$E(\hat{\mu}) = \mu$，则$\hat{\mu}$是$\mu$的无偏估计。让我们逐步分析每个选项： **选项A: $\frac{1}{2}(X_1 + X_2 + X_3)$** \[ E\left(\frac{1}{2}(X_1 + X_2 + X_3)\right) = \frac{1}{2}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)) = \frac{1}{2}(\mu + \mu + \mu) = \frac{1}{2} \cdot 3\mu = \frac{3\mu}{2} \] 由于$\frac{3\mu}{2} \neq \mu$，选项A不是$\mu$的无偏估计。 **选项B: $\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{4}X_3$** \[ E\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{4}X_3\right) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) + \frac{1}{4}E(X_3) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{4}\mu = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right)\mu = \left(\frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12}\right)\mu = \frac{13}{12}\mu \] 由于$\frac{13\mu}{12} \neq \mu$，选项B不是$\mu$的无偏估计。 **选项C: $\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{8}X_3$** \[ E\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{8}X_3\right) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) + \frac{1}{8}E(X_3) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{8}\mu = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{8}\right)\mu = \left(\frac{12}{24} + \frac{8}{24} + \frac{3}{24}\right)\mu = \frac{23}{24}\mu \] 由于$\frac{23\mu}{24} \neq \mu$，选项C不是$\mu$的无偏估计。 **选项D: $\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{6}X_3$** \[ E\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{6}X_3\right) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) + \frac{1}{6}E(X_3) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{6}\mu = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)\mu = \left(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6}\right)\mu = \frac{6}{6}\mu = \mu \] 由于$E(\hat{\mu}) = \mu$，选项D是$\mu$的无偏估计。因此，正确答案是$\boxed{D}$。

解析

考查要点：本题主要考查无偏估计量的概念及其验证方法。
解题核心思路：

无偏估计的定义是估计量的期望等于被估计的参数。
对于每个选项，计算其线性组合的期望，验证是否等于总体均值$\mu$。
关键点在于系数之和是否为1，因为若$\hat{\mu} = aX_1 + bX_2 + cX_3$，则$E(\hat{\mu}) = (a + b + c)\mu$，只有当$a + b + c = 1$时，$\hat{\mu}$才是无偏估计。

选项分析

选项A：$\frac{1}{2}(X_1 + X_2 + X_3)$

计算期望：
$E\left(\frac{1}{2}(X_1 + X_2 + X_3)\right) = \frac{1}{2}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)) = \frac{1}{2}(\mu + \mu + \mu) = \frac{3\mu}{2} \neq \mu$
结论：不是无偏估计。

选项B：$\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{4}X_3$

计算系数和：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12} \neq 1$
期望为$\frac{13}{12}\mu \neq \mu$。
结论：不是无偏估计。

选项C：$\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{8}X_3$

计算系数和：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{8} = \frac{12}{24} + \frac{8}{24} + \frac{3}{24} = \frac{23}{24} \neq 1$
期望为$\frac{23}{24}\mu \neq \mu$。
结论：不是无偏估计。

选项D：$\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{6}X_3$

计算系数和：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = 1$
期望为$\mu$。
结论：是无偏估计。