一、某市要调查居民的家庭人均收入，根据往年统计该市家庭人均收入的标准差为3000元。随机抽取了一个容量为200户的家庭，计算得平均收入为3319元。求该市全体居民家庭人均收入μ的置信水平为98%的置信区间。(已知标准正态分布表中，Φ(2.06)=0.98，Φ(2.33)=0.99)

本题考查的是在总体标准差已知的情况下，利用正态分布来求解总体均值的置信区间。解题的关键思路如下：

1. 首先明确已知条件，包括样本均值$\bar{x}$、总体标准差$\sigma$、样本容量$n$以及置信水平$1 - \alpha$。
2. 根据置信水平$1 - \alpha$求出对应的$z_{\alpha/2}$值，这可以通过标准正态分布表来查找。
3. 计算抽样误差$E$，其计算公式为$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
4. 最后根据样本均值$\bar{x}$和抽样误差$E$构建总体均值$\mu$的置信区间，公式为$\bar{x} \pm E$。

下面进行详细的计算：

1. 已知样本均值$\bar{x} = 3319$元，总体标准差$\sigma = 3000$元，样本容量$n = 200$，置信水平$1 - \alpha = 0.98$，则$\alpha = 1 - 0.98 = 0.02$，所以$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.02}{2} = 0.01$。
2. 由标准正态分布表可知，$z_{\alpha/2} = z_{0.01} = 2.33$。
3. 计算抽样误差$E$：
   • 根据公式$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，将$z_{0.01} = 2.33$，$\sigma = 3000$，$n = 200$代入可得：
   • $E = 2.33 \cdot \frac{3000}{\sqrt{200}}$
   • 先计算$\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\approx10\times1.414 = 14.14$。
   • 则$E = 2.33\times\frac{3000}{14.14}\approx2.33\times212.17\approx494.06$。
4. 构建置信区间：
   • 根据公式$\bar{x} \pm E$，将$\bar{x} = 3319$，$E\approx494.06$代入可得：
   • 下限为$\bar{x}-E = 3319 - 494.06 = 2824.94$。
   • 上限为$\bar{x}+E = 3319 + 494.06 = 3813.06$。
   • 所以置信区间为$(2824.94, 3813.06)$。