题目

4.设随机变量X与Y相互独立,且-|||-.sim N((M)_(1),({sigma )_(1)}^2) , sim N((M)_(2),({O)_(2)}^2) ,-|||-则 =X+Y ()-|||-A. sim N((mu )_(1)-(mu )_(2),({sigma )_(1)}^2+({sigma )_(2)}^2)-|||-B. sim N((H)_(1)-(mu )_(2),(O)_(1)-(O)_(2))-|||-C. sim N((mu )_(1)+(mu )_(2),({sigma )_(1)}^2-({sigma )_(2)}^2)m-|||-D. _(2)N((mu )_(1)+({mu )_(2),({sigma )_(1)}^2}+({sigma )_(2)}^2)

题目解答

答案

D. ${I}_{2}N({\mu }_{1}+{{\mu }_{2},{{\sigma }_{1}}^{2}}+{{\sigma }_{2}}^{2})$

解析

考查要点：本题主要考查独立正态随机变量之和的分布性质，即两个独立正态变量相加后的均值与方差的计算。

解题核心思路：

  1. 正态分布的可加性：若两个独立随机变量均服从正态分布，则它们的和仍服从正态分布。
  2. 均值与方差的运算规则：
    • 均值：和的均值等于均值的和，即 $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$。
    • 方差：和的方差等于方差的和（独立时协方差为0），即 $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$。

破题关键点：

  • 明确选项中均值和方差的表达式是否符合上述规则，排除错误选项。

步骤1：确定和的分布类型
由于 $X$ 和 $Y$ 独立且均服从正态分布，根据正态分布的可加性，$Z = X + Y$ 仍服从正态分布。

步骤2：计算均值
根据均值的线性性质：
$E(Z) = E(X + Y) = E(X) + E(Y) = \mu_1 + \mu_2.$

步骤3：计算方差
由于 $X$ 和 $Y$ 独立，协方差为0，因此：
$\text{Var}(Z) = \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2.$

步骤4：匹配选项

  • 选项D的均值为 $\mu_1 + \mu_2$，方差为 $\sigma_1^2 + \sigma_2^2$，符合计算结果。
  • 其余选项均存在均值或方差的错误（如减法或错误符号）。