题目

(4)设矩阵A满足 A^2+A-4E=0, 其中E为单位矩阵,则 (A-E)^-1= _.

(4)设矩阵A满足 A^{2}+A-4E=0, 其中E为单位矩阵,则 (A-E)^{-1}= \ _.

题目解答

答案

由题意，矩阵 $ A $ 满足方程 $ A^2 + A - 4E = 0 $。将方程重写为 $ A^2 + A = 4E $。 考虑 $ (A - E)(A + 2E) $，展开得： \[ (A - E)(A + 2E) = A^2 + 2A - A - 2E = A^2 + A - 2E = 4E - 2E = 2E \] 两边同除以 2，得： \[ (A - E) \left( \frac{A + 2E}{2} \right) = E \] 因此，$ (A - E)^{-1} = \frac{A + 2E}{2} $。 **答案：** $\boxed{\frac{1}{2}(A + 2E)}$（或$\boxed{\frac{A + 2E}{2}}$）

解析

考查要点：本题主要考查矩阵方程的应用及逆矩阵的求解方法，需要学生灵活运用矩阵运算规则和方程变形技巧。

解题核心思路：
题目给出矩阵方程 $A^2 + A - 4E = 0$，要求计算 $(A - E)^{-1}$。关键在于构造与 $(A - E)$ 相乘后得到单位矩阵的矩阵。通过展开 $(A - E)(A + 2E)$ 并结合原方程，可以发现其结果为 $2E$，从而推导出逆矩阵。

破题关键点：

  1. 观察方程结构，尝试将原方程变形为与 $(A - E)$ 相关的表达式。
  2. 通过矩阵乘法展开，验证 $(A - E)(A + 2E)$ 的结果，并利用原方程简化运算。

步骤 1：展开 $(A - E)(A + 2E)$
计算乘积：
$\begin{aligned}(A - E)(A + 2E) &= A \cdot A + 2A \cdot E - E \cdot A - 2E \cdot E \\&= A^2 + 2A - A - 2E \\&= A^2 + A - 2E.\end{aligned}$

步骤 2：代入原方程
根据题意，原方程 $A^2 + A = 4E$，代入上式：
$A^2 + A - 2E = 4E - 2E = 2E.$

步骤 3：构造逆矩阵
将等式两边同时除以 2：
$(A - E) \cdot \frac{A + 2E}{2} = E.$
由此可知，$(A - E)^{-1} = \frac{A + 2E}{2}$。