必答 某圆截面杆长l，直径d=100mm，两端受轴向拉力F=50kN作用时，杆伸长Δl=0.1/π mm，两端受扭转力偶矩Me=50kN.m作用时，两端截面的相对扭转角φ=0.2/π rad，该轴的材料为各向同性材料，该材料的泊松比()。 A. 1.25B. 0.75C. 0.25D. -0.25

本题考查泊松比的计算，需要结合轴向拉伸和扭转两种受力情况，建立弹性模量$E$和剪切模量$G$的关系，进而求解泊松比$\nu$。解题关键在于：

1. 轴向拉伸：利用胡克定律建立$E$与纵向应变的关系；
2. 扭转：利用剪切胡克定律建立$G$与相对扭转角的关系；
3. 联立方程：通过$E = 2G(1+\nu)$联立求解$\nu$。

轴向拉伸分析

1. 正应力计算
   横截面积$A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0.1)^2}{4} = 0.0025\pi \, \text{m}^2$，轴向拉力$F = 50 \, \text{kN} = 50,000 \, \text{N}$，正应力为：
   $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{50,000}{0.0025\pi} = \frac{20,000,000}{\pi} \, \text{Pa}$

2. 纵向应变与弹性模量
   纵向应变$\varepsilon_l = \frac{\Delta l}{l} = \frac{0.1/\pi}{l}$，根据胡克定律$\varepsilon_l = \frac{\sigma}{E}$，得：
   $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_l} = \frac{20,000,000/\pi}{0.1/(\pi l)} = 200,000,000 l \, \text{Pa}$

扭转分析

1. 极惯矩计算
   极惯矩$I_p = \frac{\pi d^4}{32} = \frac{\pi (0.1)^4}{32} = 3.125 \times 10^{-6}\pi \, \text{m}^4$。

2. 相对扭转角与剪切模量
   扭转力偶矩$M_e = 50 \, \text{kN·m} = 50,000 \, \text{N·m}$，相对扭转角$\phi = \frac{M_e l}{G I_p}$，代入$\phi = 0.2/\pi$得：
   $0.2/\pi = \frac{50,000 l}{G \cdot 3.125 \times 10^{-6}\pi} \implies G = \frac{50,000 l}{0.2 \cdot 3.125 \times 10^{-6}} = 8 \times 10^7 l \, \text{Pa}$

联立方程求泊松比

利用弹性模量与剪切模量关系$E = 2G(1+\nu)$，代入$E = 200,000,000 l$和$G = 8 \times 10^7 l$：
$200,000,000 l = 2 \cdot 8 \times 10^7 l \cdot (1+\nu) \implies 1+\nu = \frac{200,000,000}{1.6 \times 10^8} = 1.25 \implies \nu = 0.25$